（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 （第1课时）

1§3.2导数的应用最新考纲1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极植f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有2f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)函数的极大值一定大于其极小值．(×)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)题组二教材改编2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f′(x)0恒成立，∴f(x)是增函数．3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．答案(0，＋∞)解析由f′(x)＝ex－10，解得x0，故其单调递增区间是(0，＋∞)．4．当x0时，lnx，x，ex的大小关系是________．答案lnxxex解析构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－10，所以lnxx.同理可得xex，故lnxxex.5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．答案227a33解析容积V＝(a－2x)2x,0xa2，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝a6或x＝a2(舍去)，则x＝a6为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝227a3.题组三易错自纠6．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．答案[－3,0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]．7．(2018·郑州质检)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.8．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.9．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．答案32，4解析f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此f′1＝3－2a0，f′2＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.4第1课时导数与函数的单调性题型一不含参函数的单调性1．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－12答案B解析由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.故选B.2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是()A．(－∞，e)B．(1，e)C．(e，＋∞)D．(e－1，＋∞)答案D解析由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)0，解得xe－1，所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是________．答案0，1e解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得0x1e，即函数f(x)的单调递减区间为0，1e.4．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________．5答案－π，－π2和0，π2解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二含参数的函数的单调性例1讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.①当a≥1时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0a1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈0，1－a2a时，f′(x)0；当x∈1－a2a，＋∞时，f′(x)0，故f(x)在0，1－a2a上单调递减，在1－a2a，＋∞上单调递增．综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0a1时，f(x)在0，1－a2a上单调递减，在1－a2a，＋∞上单调递增．思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练1已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a0)．试讨论f(x)的单调性．解由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a0)，6令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2－2aa.①当0a1时，令f′(x)0，则x0或x2－2aa，令f′(x)0，则0x2－2aa；②当a＝1时，f′(x)≥0在R上恒成立；③当a1时，令f′(x)0，则x0或x2－2aa，令f′(x)0，则2－2aax0.综上所述，当0a1时，f(x)在(－∞，0)和2－2aa，＋∞上单调递增，在0，2－2aa上单调递减；当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a1时，f(x)在－∞，2－2aa和(0，＋∞)上单调递增，在2－2aa，0上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2(1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(a)f(b)D．f(b)g(a)0答案A解析因为函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝1－20，f(1)＝e－10，所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－20，所以g(a)0.由g(2)＝ln2＋10，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－10，所以f(b)0.综上可知，g(a)0f(b)．(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x0时，xf′(x)－f(x)0.若a＝fee，b＝fln2ln2，c＝f33，则a，b，c的大小关系是()A．bacB．acbC．abcD．cab7答案D解析设g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf′x－fxx2，又当x0时，xf′(x)－f(x)0，所以g′(x)0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减．因为f(x)为R上的偶函数，所以2e3，可得g(3)g(e)g(ln2)，即cab，故选D.(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2019)(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为()A．(0,2019)B．(2019，＋∞)C．(2021，＋∞)D．(2019,2021)答案D解析令h(x)＝fxx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－fxx2.∵xf′(x)－f(x)0，∴h′(x)0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)(m－2019)f(2)，m－20190，∴fm－2019m－2019f22，即h(m－2019)h(2)．∴m－20192且m－20190，解得2019m2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021)．(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x0时，有xf′x－fxx20恒成立，则不等式x2f(x)0的解集是__________________．答案(－∞，－2)∪(0,2)解析∵当x0时，fxx′＝x·f′x－fxx20，∴φ(x)＝fxx在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0x2时，φ(x)0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2根据函数单调性求参数8例3