2020版高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制学案（含解析）新

1第2课时秦九韶算法与进位制学习目标1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．知识点一秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan－1…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N,0ank,0≤an－1，…，a1，a0k)．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数．思考59分59秒再过1秒是多少时间？答案1小时．上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.知识点三进制间的转化1．一般地，将k进制数anan－1…a1a0(k)转化为十进制：anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.(×)2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．(√)3．不同进制数之间可以相互转化．(√)2题型一秦九韶算法的应用例1用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·xn.跟踪训练1用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二k进制化为十进制例2二进制数110011(2)化为十进制数是什么数？解110011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟将k进制数anan－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数anan－1…a1a0(k)写成各3数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2(1)把二进制数1110011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314706(8)化为十进制数．解(1)1110011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104902.所以，化为十进制数是104902.题型三十进制化k进制例3将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解算式如图，则458＝13022(4)＝2042(6)．反思感悟十进制数化为k进制数的思路为除k取余→倒序写出→标明基数.跟踪训练3把89化为二进制数．解算式如图，则89＝1011001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0＝1，v1＝1×0.3＋0＝0.3，v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，4v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.0796.∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.0796.[素养评析](1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10)，则r的值为()A．1B．5C．3D．8答案D解析∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()A．10B．9C．12D．8答案C解析f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是()A．1×2B．24C．2＋1D．1×2＋2答案D解析因为f(x)＝(((x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4．下列各数中，最小的数是()A．85(9)B．210(6)C．1000(4)D．111111(2)答案D解析85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，51000(4)＝1×43＝64，111111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5．(1)将二进制数1611111个转化成十进制数；(2)将53(8)转化为二进制数．解(1)1611111个(2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图．所以53(8)＝101011(2)．1．要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0时的值的思路为(1)改写；(2)计算v0＝an，vk＝vk－1x0＋an－kk＝1，2，…，n；(3)结论f(x0)＝vn.一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是()6A．55B．106C．732D．2134答案D解析五进制数的基数是5，在所构成的数中，只可能用0,1,2,3,4这5个数字．2．把五进制数123(5)改写成十进制数为()A．83B．64C．38D．44答案C解析五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x6＋5x5＋6x4＋23x3－8x2＋10x－3当x＝－4时的值时，v3的值为()A．－742B．－49C．18D．188答案B解析f(x)＝2x6＋5x5＋6x4＋23x3－8x2＋10x－3＝(((((2x＋5)x＋6)x＋23)x－8)x＋10)x－3，v0＝2，v1＝v0x＋5＝2×(－4)＋5＝－3，v2＝v1x＋6＝－3×(－4)＋6＝18，v3＝v2x＋23＝18×(－4)＋23＝－49，故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为()A．12B．11C．10D．9答案B解析101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11.5．四位二进制数能表示的最大十进制数是()A．4B．64C．255D．15答案D解析由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1111时表示的十进制数最大，此时，1111(2)＝15.6．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为()A．8B．55C．56D．62答案B解析由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是()A．－4B．－17C．5D．6答案D解析此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式v0＝an，vk＝vk－1x＋an－kk＝1，2，…，n，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.8．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于()A．7或4B．－7C．4D．－4答案C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是()A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案C解析342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177，402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7)，402(6)＞355(6)，所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66，则x的值为________．答案6解析146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是________．答案－15解析f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，所以v0＝1，v1＝1×(－1)－5＝－6，8v2＝(－6)×(－1)＋6＝12，v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．解∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13，v0＝3，v1＝v0×6＋12＝30，v2＝v1×6＋8＝188，v3＝v2×6－3.5＝1124.5，v4＝v3×6＋7.2＝6754.2，v5＝v4×6＋5＝40530.2，v6＝v5×6－13＝243168.2，∴f(6)＝243168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：十六进制数012345678910ABCDE十进制数0123456789101112131415例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等