2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.3.2 空间几何体的体积讲义 苏教版必修2

-1-1.3.2空间几何体的体积学习目标核心素养1.了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点)2.会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学运算核心素养.1．柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝πr2h(r为底面半径)锥体V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥＝π3r2h(r为底面半径)台体V台体＝13h(S＋SS′＋S′)(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝13πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．提示：V＝Sh――→S′＝SV＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V＝13Sh.2．球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积V＝43πR3．(2)球的表面积S＝4πR2．-2-1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．39a3[设正方体的边长为x，则3x＝a，故x＝a3，V＝39a3.]2．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．2π[设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2πr＝2，即r＝1π，故圆柱的体积为V＝πr2h＝π1π2×2＝2π.]3．如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．1∶24[设三棱柱A1B1C1­ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝13×14S·12h＝124Sh＝124V2，即V1∶V2＝1∶24.]4．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________．36π[设球的半径为R，由题意可知4πR2＝36π，∴R＝3.∴该球的体积V＝43πR3＝36π.]多面体的体积【例1】如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1­B1CD的体积．思路探究：法一：VA1­B1CD＝V柱－VA1­ADC－VB1­BDC－VC­A1B1C1.-3-法二：利用等体积法求解，VA1­B1CD＝VC­A1B1D.[解]∵AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝5.法一：由题意可知VA1B1C1­ABC＝S△ABC×AA1＝12×4×3×4＝24.又VA1­ADC＝13×12S△ABC×AA1＝16S△ABC×AA1＝4.VB1­BDC＝13×12S△ABC×BB1＝16S△ABC×BB1＝4.VC­A1B1C1＝13S△A1B1C1×CC1＝8，∴VA1­B1CD＝VA1B1C1­ABC－VA1­ADC－VB1­BDC－VC­A1B1C1＝24－4－4－8＝8.法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA.又S△A1B1D＝12A1B1·AA1＝12×5×4＝10.在△ABC中，CF＝AC·BCAB＝3×45＝125.∴VA1­B1CD＝VC­A1B1D＝13S△A1B1D·CF＝13×10×125＝8.几何体的体积的求法(1)直接法：直接套用体积公式求解．(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．(3)分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体．(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．1．如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P­ABC的体积．-4-[解]∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连结AD，PD，作PO⊥平面ABC.∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，∴O∈AD.作PE⊥AB于点E，连结OE，则OE⊥AB.在Rt△PAE中，PE＝asin60°＝32a，AE＝a2.在Rt△AEO中，OE＝a2tan30°＝36a.∴OP＝PE2－OE2＝63a.又S△ABC＝12BC·AD＝3a2.∴VP­ABC＝13·S△ABC·OP＝23a3.旋转体的体积【例2】圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？思路探究：解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[解]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圆台的高h＝BC＝BD2－（OD－AB）2＝102－（6－4）2＝46(cm)，V圆台＝13h(S＋SS′＋S′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm3)．-5-求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．2.如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解]如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB＝5，底面半径DC＝AC·BCAB＝125，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝845π，V＝13π·CD2·DA＋13π·CD2·BD＝13π·CD2·(DA＋BD)＝485π.几何体的外接圆内切球的问题[探究问题]1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为多少？[提示]V1∶V2＝8∶27＝R31∶R32，∴R1∶R2＝2∶3，S1∶S2＝R21∶R22＝4∶9.2．一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？[提示]因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为42＋32＝5，故球的表面积为4πr2＝4π×25＝100π.【例3】已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．思路探究：正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径．[解]如图所示，设正四面体P­ABC的高为PO1，球的球心为O，半径为R，则AO1＝33AB＝33a.在Rt△PO1A中，PO1＝PA2－AO21-6-＝a2－33a2＝63a，在Rt△OO1A中，AO2＝AO21＋OO21，即R2＝33a2＋63a－R2，解得R＝64a.所以球的表面积S＝4πR2＝4π64a2＝32πa2，体积V＝43πR3＝43π64a3＝68πa3.处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径．3．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．[解]如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1∈CM.设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝22＋x2，O1C＝CM－O1M＝62－22－x.又O1A＝O1C，∴22＋x2＝62－22－x，解得x＝724.∴O1A＝O1B＝O1C＝924.在Rt△OO1A中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R，由勾股定理得R22＋9242＝R2，解得R＝362，则S球＝4πR2＝54π，V球＝43πR3＝276π.-7-1．本节课的重点是通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体、球体积的求法，难点是会求组合体的体积．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间几何体体积的常用方法．(2)求与组合体有关的体积的方法．3．本节课的易错点是求几何体体积时易把相关数据弄错．1．球的体积是32π3，由此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3D.64π3B[则设球的半径为R，则由已知得43πR3＝32π3，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.]2．已知一个长方体共顶点的三个面的面积为2，3，6，这个长方体的对角线长是________．6[设ab＝2，bc＝3，ac＝6，则abc＝6，c＝3，a＝2，b＝1.∴l＝3＋2＋1＝6.]3．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.[答案]118.84．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是32π3，求此三棱柱的体积．[解]由43πR3＝32π3，得R＝2，∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则13·32a＝2，-8-∴a＝43，∴V＝34(43)2·4＝483.