2019-2020学年高中数学 第3章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1.1 数学归纳法原理 3.1

-1-3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例学习目标：1.理解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．教材整理1归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法．设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，归纳推理，得当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[解析]依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…可推知an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项bn＝2n，所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x2n－1x＋2n.[答案]x2n－1x＋2n教材整理2数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取初始值n0(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立．(2)假设当n＝k(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法.-2-数学归纳法的概念【例1】用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[精彩点拨]注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.[自主解答]实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.[答案]C1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．1．下列四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋kC．式子11＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋12＋13D．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4[解析]对于选项A，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.[答案]C用数学归纳法证明等式【例2】用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N＋)．[精彩点拨]要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．-3-[自主解答]①当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n∈N＋成立．1．用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．2．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(其中n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝141＋1＝18，∴等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即12×4＋14×6＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1成立，那么当n＝k＋1时，-4-12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14[k＋1＋1]，即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立.数学归纳法证明整除问题【例3】求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.[精彩点拨]对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．若A，B都能被C整除，则A＋B，A－B也能被C整除．[自主解答](1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，命题成立．利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．[证明](1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．由n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.-5-证明几何命题【例4】平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．[精彩点拨](1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明：[自主解答]当n＝2时，f(2)＝1；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝6.因此猜想f(n)＝nn－12(n≥2，n∈N＋)，下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)．当n＝k＋1时，任何其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k)＝kk－12.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个．∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝kk－12＋k＝k2＋k2＝kk＋12＝k＋1[k＋1－1]2.∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．并结合图形直观分析，要弄清原因．4．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．[解]设分割成线段或射线的条数为f(n)．则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．-6-(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2均成立.对数学归纳法的理解[探究问题]1．应用数学归纳法时的常见问题有哪些？[提示]①第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n＝2等．②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．2．如何理解归纳假设在证明中的作用？[提示]归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明．否则，就不是数学归纳法．3．为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？[提示]这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础．假设n＝k成立，根据假设和合理推证，证明出n＝k＋1也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立．这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3也成立；n＝3成立，则n＝4也成立．如此反复，以至无穷．对所有n≥n0的整数就都成立了．数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇．【例5】用数学归纳法证明：1－141－191－116…1－1n2＝n＋12n(n≥2，n∈N＋)．[精彩点拨]因n≥2，n∈N＋，第一步要验证n＝2.-7-[自主解答](1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，即1－141－191－116…1－1k2＝k＋12k(k≥2，k∈N＋)．当n＝k＋1时，1－141－191－116…1－1k21－1k＋12＝k＋12k·k＋12－1k＋12＝k＋1k·k＋22k·k＋12＝k＋22k＋1＝k＋1＋12k＋1.∴当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，缺了第一步递推失去基础；缺了第二步递推失去了依据，因此无法递推下去．1．一批花盆堆成三角