2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 1.1 直角坐标系 平面上的伸缩变换讲义 新人教B版

-1-1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点)1．直角坐标系(1)直线上点的坐标①点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．(2)平面直角坐标系①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组(x，y)为点M的坐标．②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．(3)空间直角坐标系①过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．②在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换把点P(x，y)变为平面上新的点Q(X，Y)，伸缩变换的坐标表达式为：X＝axY＝by，其中a0，b0.特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q(X，Y)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．思考1：如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？[提示]①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或-2-中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．思考2：如何理解点的坐标的伸缩变换？[提示]在平面直角坐标系中，点P(x，y)变换到点Q(X，Y)．当a1时，是横向拉伸变换，当0a1时，是横向压缩变换；当b1时，是纵向拉伸变换，当0b1时，是纵向压缩变换．1．点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为()A．(3,6)B．(3，－6)C．(2，－4)D．(－2,4)[解析]设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.[答案]B2．为了得到曲线y＝3sinx，只需把曲线y＝2sinx怎样变换()A．纵坐标不变，横坐标变为原来的32倍B．横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍C．纵坐标不变，横坐标变为原来的23倍D．横坐标不变，纵坐标变为原来的23倍[答案]B3．将点P(－2,2)变换为点Q(－6,1)的伸缩变换公式为()A．X＝13xY＝2yB．X＝12xY＝3yC．X＝3xY＝12yD．X＝3xY＝2y[解析]将X＝－6Y＝1与x＝－2y＝2代入到公式φ：X＝axY＝by中，有－6＝a·－2，1＝b·2，∴a＝3，b＝12.[答案]C4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换X＝4xY＝3y后的曲线方程为________．-3-[解析]由X＝4x，Y＝3y.得x＝X4，y＝Y3.代入到x2＋y2＝1，得X216＋Y29＝1.∴变换后的曲线方程为x216＋y29＝1.[答案]x216＋y29＝1运用坐标法解决平面几何问题【例1】已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思路探究]从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．[解]法一(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E(b2，c2)，由对称性知D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．法二(向量法)在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，-4-两边平方得AC→2＝|AC→|2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→，同理得BD→2＝|BD→|2＝BA→2＋BC→2＋2BA→·BC→，以上两式相加，得|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)＋2BC→·(AB→＋BA→)＝2(|AB→|2＋|AD→|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．2．证法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．证法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．1．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．[解]如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(0，32a)，B(－a2，0)，C(a2，0)．设P(x，y)．则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－32a)2＋(x＋a2)2＋y2＋(x－a2)2＋y2＝3x2＋3y2－3ay＋5a24＝3x2＋3(y－36a)2＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝36a时，等号成立，∴所求最小值为a2，此时P点坐标为P(0，36a)是正△ABC的中心．-5-用坐标法解决实际问题【例2】我国海军第五批护航编队由“广州”号导弹驱逐舰，“微山湖”号综合补给舰，以及先期到达亚丁湾、索马里海域执行护航任务的“巢湖”号导弹护卫舰会合，对商船进行护航．某日，“广州”舰在“巢湖”舰正东6千米处，“微山湖”舰在“巢湖”舰北偏西30°，相距4千米．某时刻“广州”舰发现商船的某种求救信号．由于“巢湖”、“微山湖”两舰比“广州”舰距商船远，因此4s后“巢湖”、“微山湖”两舰才同时发现这一信号，若此信号的传播速度为1km/s.若“广州”舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？[思路探究]本题求解的关键在于确定商船相对于“广州”舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示“广州”舰、“巢湖”舰、“微山湖”舰，建立适当坐标系，求出商船与“广州”舰的坐标，问题可解．[解]设A，B，C，P分别表示“广州”舰、“巢湖”舰、“微山湖”舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)．∴kPA＝538－3＝3.因此“广州”舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．-6-2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．2．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？[解]如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴．垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，则A(0,0)，B(－1000,0)．由W位于A的西北方向，且|AW|＝400，∴点W(－2002，2002)，由直线m过点B，且倾斜角α＝90°－60°＝30°，∴直线m的方程是x－3y＋1000＝0.于是，点W到直线m的距离为|－2002－3×2002＋1000|2＝100×(5－2－6)≈113.6100.所以，埋设地下管线m的计划不需修改．已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程【例3】在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：X＝3x2Y＝y.(1)求点A(13，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．-7-[思路探究](1)由伸缩变换X＝3x2Y＝y求得X，Y.即用x，y表示X，Y.(2)将求得的x，y代入原方程得X，Y间的关系．[解](1)设点A′(X，Y)．由伸缩变换φ：X＝3x2Y＝y得到X＝3x，Y＝12y.又已知点A(13，－2)．于是X＝3×13＝1，Y＝12×(－2)＝－1.∴变换后点A′的坐标为(1，－1)．(2)设曲线C′上任意一点Q(X，Y)，将x＝13Xy＝2Y代入x2－y264＝1，得X29－4Y264＝1，化简得X29－Y216＝1，∴曲线C′的方程为x29－y216＝1.∴a2＝9，b2＝16，c2＝25，因此曲线C′的焦点F1(5,0)，F2(－5,0)．解答本题的关键：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．3．若将例题中第(2)题改为：如果曲线C经过变换后得到的曲线的方程为x2＝18y，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程？请说明理由．[解]设曲线C上任意一点M(x，y)，经过变换后对应点M′(X，Y)．-8-由X＝3x2Y＝y得X＝3xY＝y2(*)又M′(X，Y)在曲线x2＝18y上，∴X2＝18Y①将(*)代入①式得(3x)2＝18×(12y)．即x2＝y为曲线C的方程．可见仍是抛物线，其中p＝12，抛物线x2＝y的焦点为F(0，14)．准线方程为y＝－14.由条件求伸缩变换【例4】在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1.[思路探究]区分原方程和变换后的方程――→待定系数法＝1，∴x2＋y2＝4.因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)．