2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法

-1-1.5.3反证法和放缩法学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．教材整理1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案]B教材整理2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于放大(缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大，则相应分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方式．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝a3＋a92，Q＝a5·a7，则P与Q的大小关系是()A．PQB．PQC．P＝QD．无法确定[解析]由等比知识得Q＝a5·a7＝a3·a9.又P＝a3＋a92，且a30，a3≠a9，∴a3＋a92a3·a9＝a5·a7，故PQ.-2-[答案]A利用反证法证明否定性命题【例1】已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.[精彩点拨]当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、唯一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．[自主解答]假设三式同时大于14，即(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14.三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞164.①∵0＜a＜1，∴(1－a)a≤1－a＋a22＝14.同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14.又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于零，∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤164，②因此①式与②式矛盾．故假设不成立，即原命题成立．1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件，通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．1．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，-3-而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．利用反证法证“至多”“至少”“唯一”型命题【例2】已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.[精彩点拨](1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论；(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[自主解答](1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2.∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.1．在题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．已知a≥－1，求证以下三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中它们的判别式都小于0，即-4-4a2－4－4a＋30，a－12－4a20，2a2＋4×2a0，∴－32a12，a13或a－1，－2a0，∴－32a－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解.利用放缩法证明不等式【例3】已知x，y，z不全为零，求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2＞32(x＋y＋z)．[精彩点拨]针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．[自主解答]x2＋xy＋y2＝x＋y22＋34y2≥x＋y22＝x＋y2≥x＋y2，同理可得：y2＋yz＋z2≥y＋z2，z2＋zx＋x2≥z＋x2.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2＞x＋y2＋y＋z2＋z＋x2＝32(x＋y＋z)．1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地放或缩是放缩法基本策略．3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.[证明]假设a＋b2，而a2－ab＋b2＝a－12b2＋34b2≥0，-5-但取等号的条件为a＝b＝0，显然不可能，∴a2－ab＋b20.则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b21.∴1＋aba2＋b2≥2ab，从而ab1.∴a2＋b21＋ab2.∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab2＋2ab4.而由假设a＋b2，得(a＋b)24，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即a＋b≤2.反证法与放缩法的特点[探究问题]1．反证法的一般步骤是什么？[提示]证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？[提示](1)添加或舍去一些项，如a2＋a＋1＝a＋122＋34＞a＋122.(2)将分子或分母放大(或缩小)，如1k2＜1kk－1＝1k－1－1k；1k2＞1kk＋1＝1k－1k＋1.(3)利用真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则ab＜a＋mb＋m.(4)利用基本不等式，如a2＋b2≥2ab.(5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(6)利用函数的单调性．【例4】求证：32－1n＋1＜1＋122＋…＋1n2＜2－1n(n为正整数，且n≥2)．[精彩点拨]本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[自主解答]∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴1kk＋1＜1k2＜1kk－1，-6-即1k－1k＋1＜1k2＜1k－1－1k(k为正整数，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…1n－1n＋1＜1n2＜1n－1－1n，将这些不等式相加得12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n，即12－1n＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－1n，∴1＋12－1n＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜1＋1－1n，即32－1n＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n为正整数，且n≥2)成立．1．放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b.2．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论寻找．4．已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.-7-1．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数D．abc＜0[解析]a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数．[答案]C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数[解析]三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．[答案]D3．已知a0，b0，设P＝a1＋a＋b1＋b，Q＝a＋b1＋a＋b，则P与Q的大小关系是()A．PQB．PQC．P＝QD．无法确定[解析]∵a0，b0，∴P＝a1＋a＋b1＋ba1＋a＋b＋b1＋a＋b＝a＋b1＋a＋b＝Q，∴PQ.[答案]A4．用反证法证明命题：三角形的内角和中至少有一个不大于60°时，假设应为________．[解析]“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．[答案]假设三内角都大于60°-8-5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2.求证：1＋ba，1＋ab中至少有一个小于2.[证明]假设1＋ba，1＋ab都不小于2，则1＋ba≥2，1＋ab≥2.∵a＞0，b＞0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，∴2＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b，这与a＋b＞2矛盾．故假设不成立．即1＋ba，1＋ab中至少有一个小于2.