2019-2020学年高中数学 模块复习课学案 新人教B版必修2

-1-模块复习课一、空间几何体1．多面体及其结构特征(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：①上下底面互相平行、且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．2．圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体．3．斜二测画法的意义及建系原则(1)斜二测画法中“斜”和“二测”：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中的建系原则：在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．4．空间几何体的表面积和体积(1)多面体的表面积：-2-各个面的面积之和，也就是展开图的面积．(2)旋转体的表面积：圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．球：S＝4πR2.(3)柱体、锥体、台体的体积公式①柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．②锥体的体积公式：V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)．③台体的体积公式：V台体＝13(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．④球的体积公式：V球＝43πR3.二、点、线、面之间的位置关系1．共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．(2)异面直线：既不相交又不平行的直线．2．平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．3．基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c.4．直线与平面平行的判定与性质(1)判定：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行．那么这条直线和这个平面平行．(2)性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．5．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．6．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．-3-(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．7．直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行．8．直线与平面垂直的性质性质：如果—条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．符号表示：a⊥αb⊂α⇒a⊥b.9．面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．10．面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．三、直线的方程1．直线倾斜角的范围[0°，180°)．2．斜率公式A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两点，且x1≠x2，则l的斜率为y2－y1x2－x1.3．直线方程的几种形式(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：y＝kx＋b.(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.(4)截距式：xa＋yb＝1.(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．4．两直线的位置关系设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)平行：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0.-4-(2)垂直：A1A2＋B1B2＝0.5．距离公式(1)两点间距离公式，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22.(2)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.四、圆的方程1．圆的方程(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．2．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r.则(1)l与圆C相离⇔d＞r.(2)l与圆C相切⇔d＝r.(3)l与圆C相交⇔d＜r.3．圆与圆的位置关系设圆C1与圆C2的圆心距离为d，半径分别为R与r，则两圆(1)外离⇔d＞R＋r.(2)外切⇔d＝R＋r.(3)相交⇔|R－r|＜d＜R＋r.(4)内切⇔d＝|R－r|.(5)内含⇔0≤d＜|R－r|.五、空间直角坐标系空间两点间距离公式A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.1．空间中两直线没有交点，则两直线平行．(×)[提示]还可以是异面．2．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，所围成的几何体是棱柱．(×)[提示]还要有每相邻两个四边形公共边平行．3．棱锥是由一个面是多边形，其余各面是三角形所围成的几何体．(×)[提示]三角形必须有一个公共顶点．4．圆台也可以看作是一个圆锥截去一个小圆锥所形成的几何体．(√)-5-5．三点确定一个平面．(×)[提示]不共线三点才能确定平面．6．球的表面积公式为S＝43πR2.(×)7．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台．(×)[提示]棱台侧棱延长后会交于一点．8．一条直线平行于两平行平面中的一个平面，也平行于另一个．(×)[提示]可能直线在平面内．9．一条直线平行于两互相垂直的两平面中的一个，就会垂直于另一平面．(×)[提示]还可能相交、平行，在平面内．10．若a∥b，b⊂α，则a∥α.(×)[提示]还需要a⊄α.11．如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么两平面平行．(×)[提示]两直线相交时才成立．12．垂直于同一直线的两直线平行．(×)13．垂直于同一直线的两平面平行．(√)14．垂直于同一平面的两平面平行．(×)15．锥体的体积等于底面面积与高之积(×)16．经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径(√)17．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα.(×)[提示]90°时斜率不存在．18．直线在斜率存在的情况下，随倾斜角的增大而增大．(×)[提示]在[0°，90°)上斜率随倾斜角增大而增大，在(90°，180°)上斜率随倾斜角增大而增大．19．直线的一般方程为Ax＋By＋C＝0.(×)[提示]A2＋B2≠0.20．直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线(√)21．与Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可写为Ax＋By＋D＝0.(√)22．与Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可写为Bx＋Ay＋D＝0.(×)[提示]应为Bx－Ay＋D＝0.23．直线与圆有5种位置关系．(×)[提示]相离、相切、相交，3种．24．圆与圆有5种位置关系．(√)25．正棱锥是底面是正多边形的棱锥．(×)-6-26．两平面互相垂直，其中一个平面内的直线垂直于另一平面．(×)27．两平面互相平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面．(√)28．平行于同一直线的两平面平行．(×)29．空间直角坐标系中关于xOy平面对称的点的坐标，有相同的z坐标．(×)30．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A[由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10πB[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]3．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2B[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.故选B.-7-图①图②]4．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543B[设等边三角形ABC的边长为x，则12x2sin60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－232＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝13S△ABC×6＝13×93×6＝183.]5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]A[圆心(2,0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.22[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2，所以|AB|＝222－22＝22.]7．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．8π[由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的-8-面积为8，得12l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝12l＝2，AO＝32l＝23.故该圆锥的体积V＝13π×AO2×SO＝13π×(23)2×2＝8π.]8．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，