2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3.3.1 几何概型 3.3.2 随机数的含义与应用学

-1-3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用学习目标核心素养1.理解几何概型及随机数的定义及特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3．会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的问题．(重点、难点)1.通过几何概型及随机数的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助几何概型及利用随机模拟法解决概率问题，提升学生的数学运算的核心素养.1．几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．思考：几何概型有哪些特点？[提示](1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．3．随机数的含义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．4．产生随机数的方法(1)用函数型计算器产生随机数的方法：每次按SHIFTRan#键都会产生一个0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同的．-2-(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生随机数的方法)：①Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand()*(b－a)＋a得到．1．下列概率模型是几何概型的为()A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)B[A、C、D的基本事件是有限的，为古典概型，只有B为几何概型．]2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13B.12C.14D．16B[向△ABC内投一点的结果有无限个，属几何概型．设点落在△ABD内为事件A，则P(A)＝△ABD面积△ABC面积＝12.]3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．mnB．mnC．m＝nD．m是n的近似值D[随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．]4．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．23[∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝23.]与长度、角度有关的几何概型[探究问题]-3-1．古典概型和几何概型有何异同点？[提示]相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．2．P(A)＝0⇔A是不可能事件，P(A)＝1⇔A是必然事件是否成立？[提示](1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．3．解决几何概型问题的关键是什么？几何概型求概率问题一般有几种类型？[提示]解决几何概型的关键是把握好“测度”问题，常见测度为长度(角度)、面积、体积．【例1】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在边BC上找一点M，求BM＜1的概率．[思路探究]由题意M是边BC上一点，故试验全部结果构成的区域长度为边BC的长，E事件的区域长度为1.可由几何概型概率公式求解．[解]∵AD⊥BC，∠B＝60°，∠C＝45°，∴BD＝1，DC＝3，∴BC＝1＋3.记事件E为“在BC上找一点M，使BM＜1”，则P(A)＝1BC＝11＋3＝3－12.1．(变条件)本例把“在边BC上找一点M”改为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”，其他条件不变，求BM＜1的概率．[解]∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，∵AD⊥BC，AD＝3，∴BD＝1，∠BAD＝30°.记事件F为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM＜1”，-4-则P(F)＝30°75°＝25.2．(变结论)本题条件不变，求M到边BC两端点的距离均大于1的概率．[解]∵AD⊥BC，∠B＝60°，∠C＝45°，∴BD＝1，DC＝3，∴BC＝1＋3.记事件G为“在BC上找一点M，使M到BC两端点的距离均大于1”，则P(G)＝1＋3－21＋3＝2－3.1．若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率．2．“角度”型几何概型问题容易与“长度”型混淆，求解时应特别注意辨别．与面积有关的几何概型【例2】甲、乙两人约定在6时到7时在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．[思路探究]解答本题可先求出解析图中阴影部分面积及整个区域面积，然后利用几何概型公式求出相应事件的概率．[解]用x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能会面的条件是|x－y|≤20.在平面上建立直角坐标系如图所示，则(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间用图中阴影部分表示，所以P(A)＝602－402602＝59.1．解此类几何概型问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．-5-(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．2．对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．1．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．1－π4[由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M的面积为2－π2.故所求概率为2－π22＝1－π4.]与体积有关的几何概型【例3】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[思路探究]利用体积之比求概率．[解]依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．-6-[解]到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×133×18，所以P＝43π×133×1833＝π2×37.与体积有关的几何概型问题的解决方法1如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：PA＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.2解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.用随机模拟法估计面积问题【例4】如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，利用随机模拟的方法近似计算下列问题：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？[思路探究]与面积有关的几何概型要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以产生两组随机数来表示点的坐标确定点的位置．[解]记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}，事件C＝{投中大圆之外}．①用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand()，b1＝rand()．②经过变换，a＝a116－8，b＝b116－8，得到两组[－8,8]的均匀随机数．③统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜36的点(a，b)数)，投中小圆与中圆形成的-7-圆环次数N2(即满足4＜a2＋b2＜16的点(a，b)数)，投中木板的总次数N(即满足上述－8＜a＜8，－8＜b＜8的点(a，b)数)．④计算频率fn(A)＝N1N，fn(B)＝N2N，fn(C)＝N－N1N，即分别为概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值．通过模拟得(1)P(A)≈0.44.(2)P(B)≈0.15.(3)P(C)≈0.56.1．解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值．2．解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率．2．利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．[解](1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand()，b1＝rand()．(2)经过变换a＝a1](3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点的个数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)的个数)．(4)计算频率N1N就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S12.∴S12≈N1N.∴S≈12N1N，即为阴影部分面积的近似值．1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式和计算机模拟试验．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点．(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点．(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略．3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积．-8-1．思考辨析(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()(3)几何概型的基本事件有无数多个．()(4)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数，对于试验结果在[2,5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是()D[D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A，B，C中要大，故指针指到的概率最大．]3．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a13的概率是()A.13B.17C.310D．710C[∵a∈(10,13)，∴P(a13)＝13－1020－10＝310.]4．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36cm2与81cm2之间的概率．[解]如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A为“所作正方形面积介于36cm2与