黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2019-2020学年高中数学 第一章 算法初步 1.3.2 算法案例

11.3.2算法案例秦九韶算法授课日期:姓名:班级:学习目标知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。情态与价值:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。学习重难点重点：秦九韶算法的特点步骤难点：秦九韶算法的先进性理解使用说明及学法指导:1、先阅读教材37—39页认真思考,探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。2、、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上。知识链接1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（）和（）。2、两个数21672，8127的最大公约数是（）A、2709B、2606C、2703D、2706学习过程A问题1.计算一下多项式1)(2345xxxxxxf当5x时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。算法1：因为ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋1所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋1=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906根据我们的计算统计可以得出我们共需要次乘法运算，次加法运算。我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2xxxxxxf再统计一下计算当5x时的2值时需要的计算次数.算法2：ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１可以得出仅需次乘法和次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。B问题2.秦九韶计算多项式的方法01210123120132211012211)))((())(()()(aaxaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaxaxfnnnnnnnnnnnnnnnnnnn秦九韶算法的特点：B例1已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345xxxxxxf用秦九韶算法求这个多项式当5x时的值。B问题3：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当0xx时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？3C问题4：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？达标测试：B1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。B2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。课堂小结及评价：1、秦九韶算法的方法和步骤2、秦九韶算法的程序框图学后反思408：算法案例秦九韶算法知识链接:1,辗转相除法;更相减损术.2,A，21672=8127*2+54188127=5418*1+27095418=2709*2问题1算法1：因为ｆ(ｘ)=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2xxxxxxf再统计一下计算当5x时的值时需要的计算次数.算法2：ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。问题2：秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。例1：解：将多项式变形：按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x=5时的值：所以，当x=5时，多项式的值等于17255.28.0)7.1)6.2)5.3)25(((()(xxxxxxf50v272551v5.1385.35272v9.6896.255.1383v2.34517.159.6894v2.172558.052.34515v5问题3：5次乘法，5次加法；n次乘法和n次加法。问题4：算法分析：观察上述秦九韵算法中的n个一次式，可见vk的计算要用到vk-1的值。若令v0=an,我们可以得到下面的公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。(1)、算法步骤：第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.第三步：输入i次项的系数ai.第四步：v=vx+ai,i=i-1.第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。程序：INPUT“n=”；nINPUT“an=“;aINPUT“x=“;xv=ai=n-1WHILEi=0PRINT“i=“;iINPUT“ai=“;av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND达标测试：1，-1；2，389),,2,1(10nkaxvvavknkkn6