2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价十二 正弦定理 新人教A版必修2

-1-课时素养评价十二正弦定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·合肥高一检测)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，a=3，b=2，则sinB=()A.B.C.D.【解析】选D.因为A=，a=3，b=2，所以根据正弦定理可得sinB===.2.在△ABC中，已知BC=，sinC=2sinA，则AB=()A.B.2C.D.2【解析】选D.由正弦定理，得AB=BC=2BC=2.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tanA∶tanB=a∶b，则△ABC的形状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选A.因为tanA∶tanB=a∶b，所以btanA=atanB，所以=，因为0Aπ，0Bπ，所以sinA≠0，sinB≠0，所以cosA=cosB，即A=B，故△ABC是等腰三角形.-2-4.(2019·南充高一检测)在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为()A.4B.60C.5D.6【解析】选C.因为由三角形的面积公式得：S=acsinB=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cosB=，根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.所以△ABC的外接圆的直径为==5.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在△ABC中，已知A=60°，tanB=，a=2，则c=________.【解析】因为tanB=，所以sinB=，cosB=.又因为A=60°，所以sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)=sin120°cosB-cos120°sinB=+.由正弦定理，得=，即c===.答案：6.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=________.【解析】已知bsinA+acosB=0，由正弦定理可得sinBsinA+sinAcosB=0，即sinB=-cosB，-3-又因为sin2B+cos2B=1，解得sinB=，cosB=-，故B=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac的值.【解析】由正弦定理=得sinB===.由条件b=6，a=2，ba知BA.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时，C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时，C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°，所以A=C，则有a=c=2.所以ac=2×2=12.8.(14分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cosA，sinB)平行.-4-(1)求A.(2)若a=，b=2，求sinC.【解析】(1)因为m∥n，所以asinB-bcosA=0.由正弦定理，得sinAsinB-sinBcosA=0，又因为sinB≠0，从而tanA=.由于0Aπ，所以A=.(2)由正弦定理，得=，从而sinB=，又由ab，知AB，所以cosB=.故sinC=sin(A+B)=sin(B+)=sinBcos+cosBsin=.(15分钟·30分)1.(4分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C等于()A.120°B.105°C.90°D.75°【解析】选A.因为c=a，所以sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=，即sinC=-cosC.-5-所以tanC=-.又0°C180°，所以C=120°.2.(4分)(2019·通化高一检测)在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为()A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，由余弦定理得2abcosC=ab，所以cosC=，所以sinC==，所以S=absinC=×4×=.3.(4分)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB-bcosA=c，则△ABC的形状为________.【解析】根据正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，C=2RsinC(其中R是△ABC外接圆的半径)，代入acosB-bcosA=c得2RsinAcosB-2RsinBcosA=2RsinC，所以sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)，所以sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，所以2sinBcosA=0，又因为sinB≠0，所以cosA=0，又A∈(0，π)，所以A=，所以该三角形为直角三角形.-6-答案：直角三角形【加练·固】在△ABC中，若3b=2asinB，cosA=cosC，则△ABC的形状为________.【解析】由正弦定理知b=2R·sinB，a=2R·sinA，则3b=2a·sinB可化为：3sinB=2sinA·sinB.因为0°B180°，所以sinB≠0，所以sinA=，所以A=60°或120°，又cosA=cosC，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形.答案：等边三角形4.(4分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cosA=0，所以cosA=，sinA=.再由正弦定理，得sinB==.由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cosB==.由上述结果知sinC=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsinC=.答案：5.(14分)在△ABC中，求证：-7-(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，于是==1-·2cosA=1-·2cosA===.(2)方法一：==·==.方法二：====.【加练·固】在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状.【解析】由正弦定理得=，-8-由2cosAsinB=sinC，有cosA==.又由余弦定理得cosA=，所以=，即c2=b2+c2-a2，所以a2=b2，所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.1.在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________.【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C90°，即所以30°B45°.由正弦定理知：===2cosB∈(，)，故的取值范围是(，).答案：(，)2.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c.-9-【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，整理得，sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，即sin(A+B)=2sinCcosA.因为sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，且sinC≠0，所以，cosA=.又0Aπ，所以，A=.(2)因为△ABC的面积S=bcsinA=bcsin=，所以，bc=4.①由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2=8，②联立①②解得，b=c=2.