2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价五十 正切函数的性质与图象 新人教A版必修第一册

1课时素养评价五十正切函数的性质与图象(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数y=的单调增区间为()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.令t=x+,则y=|tant|的单调增区间为(k∈Z).由kπ≤x+kπ+,得kπ-≤xkπ+(k∈Z).2.函数y=的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.由1+cosx≠0,即cosx≠-1,得x≠2kπ+π,k∈Z.又tanx中x≠kπ+,k∈Z,2所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.又f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数.3.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是()A.y=tanxB.y=cosxC.y=tanD.y=|sinx|【解析】选A.经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2π.4.满足tanA-1的三角形的内角A的取值范围是()A.B.∪C.D.∪【解析】选D.因为A为三角形的内角,所以0Aπ.又tanA-1,结合正切曲线得A∈∪.二、填空题(每小题4分,共8分)5.函数y=tan的最小正周期是____,单调递减区间是________.【解析】因为y=tan,3所以T==2π,y=tan=-tan,由kπ-x-kπ+(k∈Z),得2kπ-x2kπ+π,k∈Z,所以函数y=tan的单调递减区间是,k∈Z.答案:2π,k∈Z6.函数y=3tan的最小正周期是,则ω=________.【解析】T==,所以ω=±2.答案:±2三、解答题(共26分)7.(12分)已知f(x)=tan2x-2tanx,求f(x)的值域.【解析】令u=tanx,因为|x|≤,所以u∈[-,],所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈[-,].所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.4当u=-时,ymax=3+2.所以f(x)的值域为[-1,3+2].8.(14分)已知函数f(x)=3tan.(1)求f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性.【解析】(1)由x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+2kπ,k∈Z.所以定义域为,值域为R.(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.f(x)为非奇非偶函数.由-+kπx-+kπ,k∈Z,解得-+2kπx+2kπ,k∈Z.所以函数的单调递增区间为(k∈Z).(15分钟·30分)1.(4分)在区间内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示),可以看到在区间内二者有三个交点.52.(4分)(多选题)下列各式中正确的是()A.tan735°tan800°B.tan1tan2C.tantanD.tantan【解析】选A、B、D.tan735°=tan(735°-720°)=tan15°,tan800°=tan(800°-720°)=tan80°且0°15°80°90°,正切函数在上是单调递增,所以tan735°tan800°;tan10,tan20,所以tan1tan2;tan0,tan0;ππ,正切函数在上是单调递增,所以tantan,tan=tan,且0,正切函数在上是单调递增,所以tantan,故选项A、B、D正确.3.(4分)下列各点中,不是函数y=tan的图象的对称中心的是()A.B.C.D.6【解析】选C.令-2x=,k∈Z,得x=-.令k=0,得x=;令k=1,得x=-;令k=2,得x=-.4.(4分)已知函数y=tanωx在内是单调减函数,则ω的取值范围是________.【解析】函数y=tanωx在内是单调减函数,则有ω0,且周期T≥-=π,即≥π,故|ω|≤1,所以-1≤ω0.答案:[-1,0)【加练·固】函数f(x)=tanωx(ω0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是()A.0B.1.1C.-1D.【解析】选A.由题意,得T==,所以ω=4.所以f(x)=tan4x,f=tanπ=0.5.(14分)已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1,],其中θ∈.(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.7(2)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.【解析】(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,].所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;当x=-1时,f(x)取得最大值,为.(2)函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为x=-tanθ.因为y=f(x)在区间[-1,]上单调,所以-tanθ≤-1或-tanθ≥,即tanθ≥1或tanθ≤-.又θ∈,所以θ的取值范围是∪.1.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是()8【解析】选D.当xπ时,tanxsinx,y=2tanx;当x=π时y=0;当πx时tanxsinx,y=2sinx.根据正弦函数和正切函数图象知D正确.2.若函数f(x)=tan2x-atanx的最小值为-6.求实数a的值.【解析】设t=tanx,因为|x|≤,所以t∈[-1,1].则原函数化为:y=t2-at=-,对称轴t=.(1)若-1≤≤1,则当t=时,ymin=-=-6,所以a2=24(舍去);(2)若-1,即a-2时二次函数在[-1,1]上单调递增,ymin=-=1+a=-6,所以a=-7;(3)若1,即a2时,二次函数在[-1,1]上单调递减.ymin=1-a=-6,所以a=7.综上所述,a=-7或a=7.9