2019-2020学年新教材高中数学 单元素养评价（一） 指数函数、对数函数与幂函数 新人教B版必修

-1-单元素养评价(一)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=()A.aB.-aC.±aD.|a|【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.2.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.3.函数y=的值域是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(0,1]D.[1,+∞)【解析】选D.由于≥0,-2-所以函数y=≥30=1,故函数的值域为[1,+∞).4.已知函数f(x)=2lox的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是()A.B.[-1,1]C.D.∪【解析】选A.因为已知函数f(x)=2x的值域为[-1,1],所以-1≤2x≤1,即≤2x≤,化简可得≤x2≤2再由x0可得≤x≤,故函数f(x)的定义域为.5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1,c1D.0a1,0c1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0a1,当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)0,即1+c1,即c0,当x=0时loga(x+c)=logac0,-3-即c1,即0c1.6.设f(log2x)=2x(x0),则f(3)的值是()A.128B.256C.512D.8【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,所以f(t)=,即f(x)=,则f(3)==28=256.7.(2019·成都高一检测)已知函数f(x)=则f(f(-2))的值为()A.81B.27C.9D.【解析】选A.由f(x)=得f(-2)==9,所以f(f(-2))=f(9)=92=81.8.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=elnx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=【解析】选D.函数y=elnx的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.-4-9.(2019·揭阳高一检测)已知a=0.20.3,b=0.30.2,c=,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.cabC.bacD.abc【解析】选A.因为0.20.30.30.3,0.30.30.30.2,所以0.20.30.30.2,由=0.30.1,所以0.30.10.30.2,所以cba.10.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,lg=10.1,=1010.1.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.对于0a1,下列四个不等式中成立的是()A.loga(1+a)logaB.loga(1+a)logaC.a1+aD.a1+a-5-【解析】选B、D.因为0a1,所以a,从而1+a1+.所以loga(1+a)loga.又因为0a1,所以a1+a.12.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.0D.f【解析】选A、C、D.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1x2则f(x1)f(x2),则0,若x1x2则f(x1)f(x2),则0,故C正确;f说明函数是凹函数,而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.13.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B.函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4-6-D.函数f(x)有且仅有两个零点【解析】选A、B、D.函数f(x)=|ln|2-x||的图像如图所示:由图可得:函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,A正确;函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,B正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则当x1,x22时,x1+x24,C错误;函数f(x)有且仅有两个零点,D正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)14.(2019·上海高一检测)设函数f(x)=(其中a为常数)的反函数为f-1(x),若函数f-1(x)的图像经过点(0,1),则方程f-1(x)=2的解为________.【解析】由y=f(x)=,得x-a=y2(y≥0),所以函数f(x)的反函数f-1(x)=x2+a(x≥0).把点(0,1)代入,可得a=1.所以f-1(x)=x2+1(x≥0).由f-1(x)=2,得x2+1=2,即x=1.答案:115.设f(x)=则f(f(2))=________.【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.答案:2-7-16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=________,f=________.【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)===-,即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,所以f=,所以f===2-3.答案:12-317.设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)的值域是________,函数y=(f(x))的值域是________.【解析】f(x)=-=-,因为2x0,所以1+2x1,01,所以-f(x);因为[x]表示不超过x的最大整数,所以y=(f(x))的值域为{-1,0}.-8-答案:{-1,0}四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.(2)计算:+810.75-×+log57·log725.【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,所以2x=16-2x,化简得2x=8,所以x=3.(2)原式=1+(34-3×(23+·=1+27-12+2=18.19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)恒过点(1,2).(1)求a的值.(2)若f(x)≥2x,求x的取值范围.【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x≤1,因此,实数x的取值范围是(-∞,1].20.(14分)求函数y=(2x)2-2×2x+5,x∈[-1,2]的最大值和最小值.【解析】设2x=t,因为x∈[-1,2],所以2x=t∈则y=t2-2t+5为二次函数,图像开口向上,对称轴为t=1,当t=1时,y取最小值4,当t=4时,y取最大值13.21.(14分)已知幂函数y=f(x)的图像过点(8,m)和(9,3).(1)求m的值.(2)若函数g(x)=logaf(x)(a0,a≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1,求实数a的值.【解析】(1)由题意,y=f(x)是幂函数,-9-设f(x)=xα,图像过点(8,m)和(9,3)可得9α=3,所以α=,故f(x)=,所以m=f(8)=2,故m的值为2.(2)函数g(x)=logaf(x),即为g(x)=loga,因为x在区间[16,36]上,所以∈[4,6],①当0a1时,g(x)min=loga6,g(x)max=loga4,由loga4-loga6=loga=1,解得a=.②当a1时,g(x)min=loga4,g(x)max=loga6,由loga6-loga4=loga=1,解得a=,综上可得,实数a的值为或.22.(14分)(2019·宝山高一检测)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,所以A=5·e0.06n;当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06=2·,-10-令2·100,可得n22.7.所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.23.(14分)(2019·东莞高一检测)已知函数f(x)=log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a0恒成立.即a-恒成立,由于-∈(-∞,0).故只要a≥0即可.(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.由题设log2(1+a)-log2≥2⇒.故-a≤-为所求.