2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集学案（

12.1.1等式的性质与方程的解集（1）掌握等式的性质并会应用；（2）掌握几个重要的恒等式（3）会用十字相乘法进行因式分解；（4）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.重点：（1）掌握等式的性质及恒等式；（2）会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.难点：会用十字相乘法进行因式分解。一、等式的性质（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。填空：用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果ba，则对任意c，都有；（2）如果ba，则对任意不为零的c，都有.二、恒等式等式的性质与方程的解集等式的性质恒等式方程的解集十字相乘法2补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：（1）22ba（平方差公式）；（2）2）（yx（两数和的平方公式）；（3）063x；（4）bcaccba)(；（5）0)1(mm；（6）)1)(1(123tttt.1.化简(2x+1)2-(x-1)2.（1）252x（2）962aa（3）)(8)(4xynyxm（4）22216)4(aa方法一：方法二：（1）从量词的角度来对以上6个等式进行分类：对任意实数都成立的等式有：只是存在实数使其成立的等式有：（2）一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为，也称等式两边恒等。（3）恒等式是进行的依据之一.3十字相乘法给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以x2+5x+6=.用十字相乘法分解因式（1）232xx（2）1522xx【尝试与发现】三、方程的解集1.方程的是指能使方程左右两边相等的未知数的值.2.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的。3.做一做：求方程0232xx的解集。4.想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？2.求方程0652xx的解集.证明恒等式bdxbcadacxdcxbax)())((2.并由此探讨GFxEx2的因式分解方法.43.求关于x的方程2ax的解集,其中a是常数.教材P46练习A1、3、4、5回顾本节课，你有什么收获？作业布置：教材P46练习B一、等式的性质填空：用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果ba，则对任意c，都有cbca；（2）如果ba，则对任意不为零的c，都有bcac.三、恒等式补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：5（1）22ba))((baba（平方差公式）；（2）2）（yx222yxyx（两数和的平方公式）；方法一：可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开,然后合并同类项,即(2x+1)2-(x-1)2=4x2+4x+1-(x2-2x+1)=3x2+6x方法二：可以将2x+1和x-1分别看成一个整体,然后使用平方差公式，即(2x+1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x+1)][(2x+1)-(x+1)]（1）从量词的角度来对以上6个等式进行分类：对任意实数都成立的等式有：（1（2）（4）（6）只是存在实数使其成立的等式有：（3）（5）（2）一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。（3）恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2，由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.61.化简(2x+1)2-(x-1)2.（1）)5)(5(252xxx（2）22)3(96aaa（3）nxnymymxxynyxm8844)(8)(4（4）1616161616)4(4224222aaaaaa十字相乘法例如，对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).用十字相乘法分解因式（1）)2)(1(232xxxx（2）)3)(5(1522xxxx三、方程的解集1.方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.2.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。5.做一做：求方程0232xx的解集。{-1,-2}6.想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？不一定，当有两个相等的实根时，解集中只有一个元素。2.求方程0652xx的解集.解因为x2-5x+6=0=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为=3x(x+2)7(x-2)(x-3)=0，从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}.3.求关于x的方程2ax的解集,其中a是常数.解当a≠0时,在等式ax=2的两边同时乘以a1,得x=a2,此时解集为{a2}.当a=0时,方程变为0x=2,这个方程无解,此时解集为∅.综上,当a≠0时,解集为{a2};当a=0时,解集为∅.