湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三数学12月联考试题 理

-1-湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三数学12月联考试题理总分：150分时量：120分钟考试时间2019年12月8日第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数．则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知，则（）A.B.C.D.3．已知,,则的大小关系为（）A.B.C.D.4．已知数列为等比数列，首项为，数列满足，且，则为（）A．9B．27C．81D．2435．函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．《九章算术》卷七﹣﹣盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”．翻译为：”现有几-2-个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”．为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（）A．k＞20B．k＞21C．k＞22D．k＞237.已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．8．已知平面区域D1=，D2=，在区域D1内随机选取一点M，则点M恰好在区域D2内的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（）A．1B．2C．3D．410．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为4，圆M:，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为（）A．9B．11C．13D．1511．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（）A．（，）B．（，﹣1]C．（，1）∪（1，）D．（，1）∪（1，﹣1]-3-12．已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD,于E，EC=1，，BC=3，PE=2，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数在处的切线方程是__________．14．已知二项式展开式中各项系数和为243，则的展开式中含项的系数为_______．15.数列通项公式为，若为数列的前项和，则______．16．已知双曲线C:右焦点为F,直线与双曲线C交于A,B两点，AF、BF的中点依次为M，N,若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为_________．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD＝，∠ADC＝．（1）求的最大值；（2）若BD＝1，cos＝，求△ABD的面积．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面⊥平面，点为棱的中点．-4-（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．19.（12分）有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.-5-20.（12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，点是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为6，且直线的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．21.（12分）已知函数（是自然对数的底数），是函数的一个极值点．（1）求函数的单调递增区间；（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长．-6-23.【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.-7-湖南省湘东七校2019年下期高三联考理科数学参考答案及解析总分：150时量：120考试时间2019年12月8日一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112选项BABCAACBBCDA9.解：∵f（0）＝，∴sinφ＝，∴φ＝，即f（x）＝2sin（ωx+），∴g（x）＝2sin[ω（x﹣）+]，∵g（x）的图象关于直线x＝对称，∴ω（﹣）+＝+kπ，k∈z，则ω×＝+kπ，k∈z，令k＝1，得ω＝2．故选：B．11解：方程f（x）﹣kx＝1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y＝kx+1有两个不同的交点，当x＞1时，f（x）＝f（x﹣1），周期性变化；函数y＝kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y＝kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故kAC＝e﹣1，kBC＝；在点C处的切线的斜率k＝e0＝1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故选：D．12.以为底面补成直三棱柱，由正弦定理可求得外接圆直径径为，外接球半径从而可求得外接球表面积为二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）-8-13.14.3015.16..15.[解]数列且，当为奇数时，；当为偶数时，，所以，．故答案为．16.[解]因为以线段MN为直径的圆经过原点，所以,∴设左焦点为,连接，则，因为,所以，由双曲线定义得三、解答题（本大题共6小题，共70分.)17.（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α+，0≤α≤，故2cosα﹣cosβ＝2cosα﹣cos（α+）=，故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值．（6分）（2）由cosβ＝，得sinβ＝，故sinα＝sin（β﹣）＝sinβcos﹣cosβsin＝，（8分）由正弦定理＝，故AB＝BD＝，（10分）故S△ABD＝AB•BD•sinB＝××1×＝．（12分）18.解：（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，-9-由题意，FQ∥DC且FQ＝CD，所以AE∥CD且AE＝CD，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形.（3分）所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以，AF∥平面PEC.（5分）（2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，（6分）设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），＝（0，2，﹣a），＝（），设平面FBC的法向量为则由，令，所以取，平面DFC的法向量＝（1，0，0），（8分）因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为，所以由题意：，解得.（10分）由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，从而，所以直线PB与平面ABCD所成的角为.（12分）-10-19.（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（5分）（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：投资结果概率（7分）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：投资结果-6概率（9分）当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.（12分）20.（1）∵△AF1F2的周长为6，∴2a+2c＝6，即a+c＝3，①-11-直线的斜率之积为．可求得②联立①②及a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝，c＝1．∴椭圆C的方程为；（4分）（2）∵∠AF1F2+∠BF2F1＝π，∴AF1∥BF2，延长AF1交椭圆C于点A′，设A（x1，y1），A′（x2，y2），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），直线AA′的方程为x＝ty﹣1，联立，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0．∴，．(6分)由对称性可知，,设AF1与BF2的距离为d，，则四边形AF1F2B的面积S＝＝．∴S＝＝＝＝．(9分)令m＝，m≥1．∴S＝．∵S（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S∈（0，3]．故四边形AF1F2B面积的取值范围为（0，3]．(12分)21.（1）f'（x）＝（x+2）ex﹣x﹣a，∵是函数的一个极值点，∴，解得a＝2（2分）则f'（x）＝（x+2）（ex﹣1）．令f'（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）．（4分）（2）不等式f（x）≥g（x），可化为ex≥2mx﹣n，-12-记h（x）＝ex﹣2mx+n，h'（x）＝ex﹣2m，当m≤0时，h'（x）＞0恒成立，则h（x）在R上递增，没有最小值，故不成立；（6分）当m＞0时，令h'（x）＝0，解得x＝ln2m，当x∈（﹣∞，ln2m）时，h'（x）＜0；当x∈（ln2m，+∞）时，h'（x）＞0，当x＝ln2m时，函数h（x）取得最小值h（ln2m）＝eln2m﹣2mln2m+n≥0，即2m﹣2mln2m≥﹣n，则（9分）令F（m）＝2m﹣mln2m（m＞0），F'（m）＝1﹣ln2m，令F'（m）＝0，则，当时，F（m）＞0；当时，F（m）＜0，故当时，F（m）取得最大值，所以，即的最大值为．（12分）22．（1）由平方相加，得：，所以圆的普通方程为：（2分）又化简得圆的极坐标方程为：．（5分）（2）把代入圆的极坐标方程可得：（7分）把代入直线的极坐标方程可得：（9分）所以线段的长（10分）（其他方法酌情记分）23.（1）当时，，无解当时，，得当时，，得所以不等式解集为（.5分）（2）-13-当且仅当时取等当且仅当时取等所以当时，最小值为4，，（7分）所以所以当且仅当且即时取“=”所以最小值为（.10分）