2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2.2 向量的减法运算学案 新人

-1-6．2.2向量的减法运算考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象问题导学预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：1．a的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？1．相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量BA→＝a－b，如图所示．(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．-2-(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个相等向量之差等于0.()(2)两个相反向量之差等于0.()(3)两个向量的差仍是一个向量．()(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.AB→－DC→＝0B.AD→－BA→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0答案：C设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()A．a与b的长度相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量答案：C在平行四边形ABCD中，向量AB→的相反向量为________．答案：BA→，CD→向量的减法运算化简下列各式：(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)；(2)AB→－AD→－DC→.【解】(1)法一：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.法二：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.(2)法一：原式＝DB→－DC→＝CB→.-3-法二：原式＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.向量减法运算的常用方法1．下列四个式子中可以化简为AB→的是()①AC→＋CD→－BD→；②AC→－CB→；③OA→＋OB→；④OB→－OA→.A．①④B．①②C．②③D．③④解析：选A.因为AC→＋CD→－BD→＝AD→－BD→＝AD→＋DB→＝AB→，所以①正确，排除C，D；因为OB→－OA→＝AB→，所以④正确，排除B.故选A.2．化简下列向量表达式：(1)OM→－ON→＋MP→－NA→；(2)(AD→－BM→)＋(BC→－MC→)．解：(1)OM→－ON→＋MP→－NA→＝NM→＋MP→－NA→＝NP→－NA→＝AP→.(2)(AD→－BM→)＋(BC→－MC→)＝AD→＋MB→＋BC→＋CM→＝AD→＋(MB→＋BC→＋CM→)＝AD→＋0＝AD→.向量的减法及其几何意义如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.【解】法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接BC，则CB→＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则AD→＝b－c，所以OD→＝OA→＋AD→＝a＋b－c.法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，连接CB，则CB→＝a＋b－c.-4-法三：如图③，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，则向量BA→＝a－b，再作向量BC→＝c，则向量CA→＝a－b－c.用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.【解】因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.-5-用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD中，AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.1．如图，O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OD→＝________．解析：因为BA→＝CD→，BA→＝OA→－OB→，CD→＝OD→－OC→，所以OD→－OC→＝OA→－OB→，OD→＝OA→－OB→＋OC→，所以OD→＝a－b＋c.答案：a－b＋c2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB→＝a，BC→＝b，OD→＝c.试证明：a－b＋c＝OB→.证明：如图，a＋c＝AB→＋OD→＝DC→＋OD→＝OC→，OB→＋b＝OB→＋BC→＝OC→，所以a＋c＝OB→＋b，即a－b＋c＝OB→.1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD→－AC→等于()A.CB→B.BC→C.CD→D.DC→解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC→＝CD→.2．化简：AB→－AC→＋BD→－CD→＋AD→＝________．-6-解析：原式＝CB→＋BD→＋DC→＋AD→＝CD→＋DC→＋AD→＝0＋AD→＝AD→.答案：AD→3．已知||AB→＝10，|AC→|＝7，则|CB→|的取值范围为______．解析：因为CB→＝AB→－AC→，所以|CB→|＝|AB→－AC→|.又|||AB→|－|AC→|≤|AB→－AC→|≤|AB→|＋|AC→|，3≤|AB→－AC→|≤17，所以3≤|CB→|≤17.答案：[3，17]4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，试判断△ABC的形状．解：因为OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→.又|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，所以|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．[A基础达标]1．在三角形ABC中，BA→＝a，CA→＝b，则CB→＝()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b解析：选B.CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋(－BA→)＝b－a.2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→解析：选B.EF→＝EO→＋OF→＝OF→－OE→＝EO→－FO→＝－OE→－FO→.故选B.3．如图，在四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝()-7-A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：选A.DC→＝DA→＋AB→＋BC→＝a－b＋c.4．给出下列各式：①AB→＋CA→＋BC→；②AB→－CD→＋BD→－AC→；③AD→－OD→－AO→；④NQ→－MP→＋QP→＋MN→.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：选A.①AB→＋CA→＋BC→＝AC→＋CA→＝0；②AB→－CD→＋BD→－AC→＝AB→＋BD→－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0；③AD→－OD→－AO→＝AD→＋DO→＋OA→＝AO→＋OA→＝0；④NQ→－MP→＋QP→＋MN→＝NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝0.5．对于菱形ABCD，给出下列各式：①AB→＝BC→；②|AB→|＝|BC→|；③|AB→－CD→|＝|AD→＋BC→|；④|AD→＋CD→|＝|CD→－CB→|.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB→与BC→的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB→－CD→|＝|AB→＋DC→|＝2|AB→|，|AD→＋BC→|＝2|BC→|，且|AB→|＝|BC→|，所以|AB→－CD→|＝|AD→＋BC→|，即③正确；因为|AD→＋CD→|＝|BC→＋CD→|＝|BD→|，|CD→－CB→|＝|CD→＋BC→|＝|BD→|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|-8-＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.答案：027．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________．(用a，b表示)解析：如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.答案：b－a－a－b8．给出下列命题：①若OD→＋OE→＝OM→，则OM→－OE→＝OD→；②若OD→＋OE→＝OM→，则OM→＋DO→＝OE→；③若OD→＋OE→＝OM→，则OD→－EO→＝OM→；④若OD→＋OE→＝OM→，则DO→＋EO→＝MO→.其中正确命题的序号为________．解析：①因为OD→＋OE→＝OM→，所以OD→＝OM→－OE→，正确；②因为OM→－OD→＝OE→，所以OM→＋DO→＝OE→，正确；③因为OE→＝－EO→，所以OD→－EO→＝OM→，正确；④因为－OM→＝－OD→－OE→，所以MO→＝DO→＋EO→，正确．答案：①②③④9.如图，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OF→＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)AC→；(2)AD→；(3)AD→－AB→；(4)AB→＋CF→；(5)BF→－BD→.解：(1)AC→＝OC→－OA→＝c－a.(2)AD→＝AO→＋OD→＝OD→－OA→＝d－a.(3)AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→＝d－b.(4)AB→＋CF→＝OB→－OA→＋OF→－OC→＝b－a＋f－c.-9-(5)BF→－BD→＝OF→－OB→－(OD→－OB→)＝OF→－OD→＝f－d.10．如图所示，▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b.(1)用a，b表示AC→，DB→；(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？解：(1)AC→＝AD→＋AB→＝b＋a，DB→＝AB→－AD→＝a－b.(2)由(1)知a＋b＝AC→，a－b＝DB→.因为a＋b与a－b所在直线垂直，所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．[B能力提升]11．给出下面四个结论：①若线段AC＝AB＋BC，则向量AC→＝A