2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标一、基本能力达标1．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是()A．(4,8,2)B．(4,2,8)C．(4,2,1)D．(2,4,1)解析：选D由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C②③④正确．3．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为()A．(1，－3，－1)B．(－1，－3,1)C．(1，－3,1)D．(－1,3,1)解析：选B由题意，得P′(1，－3，－1)，P″(－1，－3,1)．4．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4)B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4)D．(2,1，－4)解析：选A过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7-2-解析：选D两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.6．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．解析：由题意C(0,2,0)，C1(0,2,2)，∴N(0,2,1)．答案：(0,2,1)7．点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________.解析：P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0)，在y轴上的射影为(0,3,0)，在z轴上的射影为(0,0,4)．答案：(2,0,0)(0,3,0)(0,0,4)8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M在xOz上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．答案：(2,0,3)9．如图，棱长为a的正方体OABC­D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．解：因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为12a，12a，z.同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为12a，12a，12a.10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．解：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设|AB|＝1，则|AD|＝2，|AA1|＝4，所以|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝12|AB|＝12，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32.所以点E的坐标为1，32，0，点F的坐标为(1,2,1)．-3-二、综合能力提升1．已知点A(x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y，z)，则P(x，y)在平面直角坐标系的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由题可知，x＝2，y＝－5，z＝－6，故(x，y)＝(2，－5)，在第四象限．2．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线解析：选D(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．3．正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝13|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为()A.13，13，13B.23，23，23C.13，23，13D.23，23，13解析：选D如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝13|BD′|，所以|DH|＝13|DD′|＝13，|DF|＝23|DA|＝23，|DG|＝23|DC|＝23，所以P点的坐标为23，23，13，故选D.4．长方体ABCD­A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是()A．(0，－2，－1)B．(x，－2，z)C．(－3，－2，－1)D．(－3，y，z)解析：选BDD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y坐标都是－2，而x，z坐标可取任意实数．5．以棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间-4-直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为________．解析：如图所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1)．平面AA1B1B对角线交点是线段AB1的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为12，0，12.答案：12，0，126．如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，棱长为1，点P在BD′上，BP＝13BD′，则P点坐标为________．解析：点P在坐标平面xOy上的射影在BD上，∵BP＝13BD′，所以Px＝Py＝23，Pz＝13∴P23，23，13.答案：23，23，137．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵点E在z轴上，且为D1D的中点，-5-故点E坐标为0，0，12.过F作FM⊥AD，FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝12，故点F坐标为12，12，0.因为点G在y轴上，又|GD|＝34，故点G坐标为0，34，0.过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故|HK|＝12，|CK|＝18.∴|DK|＝78.故点H的坐标为0，78，12.探究应用题8．依次连接四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，且已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，求顶点D的坐标．解：设线段AC与BD的交点为M，设点M的坐标为M(x1，y1，z1)，点D的坐标为D(x2，y2，z2)，由M既是线段AC的中点，也是线段BD的中点，得x1＝72，y1＝4，z1＝－1，又2＋x22＝72，－5＋y22＝4，1＋z22＝－1，∴x2＝5，y2＝13，z2＝－3.∴顶点D的坐标为(5,13，－3)．