2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的

-1-6．1.4数乘向量6．1.5向量的线性运算考点学习目标核心素养数乘向量了解数乘向量的概念并理解数乘向量的几何意义数学抽象向量的运算律理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算数学运算问题导学预习教材P145－P150的内容，思考以下问题：1．向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？3．向量线性运算满足哪些运算律？1．数乘向量一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：①当λ0时，与a的方向相同；②当λ0时，与a的方向相反．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．当λ和μ都是实数时有λ(μa)＝(λμ)a．数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a．■名师点拨(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．(2)向量的线性运算-2-向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.()(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.()(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．()答案：(1)×(2)×(3)×已知点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A.AB→＝3BC→B.AC→＝2BC→C.AC→＝12BC→D.AC→＝2CB→解析：选D.由题意可知，AB→＝－3BC→；AC→＝－2BC→＝2CB→.故只有D正确．设四边形ABCD中，有DC→＝12AB→且|AD→|＝|BC→|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形答案：C如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则知AB→＋AD→＝AC→.又因为O是AC的中点，所以AC＝2AO，所以AC→＝2AO→，所以AB→＋AD→＝2AO→，所以λ＝2.答案：2向量的线性运算(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9a＋13b；②12[(3a＋2b)－a＋12b]－212a＋38b；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.-3-【解】(1)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.故填4b－3a.(2)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．化简23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.解：原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝234－32a＋－3＋13＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.2．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.解：3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.利用已知向量表示相关向量(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若AB→＝a，AD→＝b，则DE→＝()A.12a－bB.12a＋b-4-C．a＋12bD．a－12b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC→＝a，BD→＝b，试用a，b分别表示DE→，CE→，MN→.【解】(1)选D.DE→＝DC→＋CE→＝AB→＋－12AD→＝AB→－12AD→＝a－12b.(2)由三角形中位线定理，知DE綉12BC，故DE→＝12BC→，即DE→＝12a.CE→＝CB→＋BD→＋DE→＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.MN→＝MD→＋DB→＋BN→＝12ED→＋DB→＋12BC→＝－14a－b＋12a＝14a－b.[变条件，变问法]在本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示AG→.解：因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝12OD＝12×12BD＝14BD，所以DGAB＝DFBF＝13，所以AG→＝AD→＋DG→＝AD→＋13AB→＝13a＋b.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法-5-当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．如图所示，四边形OADB是以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边的平行四边形．又BM＝13BC，CN＝13CD，试用a，b表示OM→，ON→，MN→.解：BM→＝13BC→＝16BA→＝16(OA→－OB→)＝16(a－b)，所以OM→＝OB→＋BM→＝b＋16a－16b＝16a＋56b.因为CN→＝13CD→＝16OD→，所以ON→＝OC→＋CN→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23(OA→＋OB→)＝23(a＋b)．MN→＝ON→－OM→＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.利用向量判断三点共线已知非零向量e1、e2不共线．如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．【证明】因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．利用向量判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB→＝λAC→(或BC→＝λAB→等)即可．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．-6-证明：因为D为MC的中点，且D为AB的中点，所以AB→＝AM→＋AC→，所以AM→＝AB→－AC→＝CB→.同理可证明AN→＝AC→－AB→＝BC→.所以AM→＝－AN→.所以AM→，AN→共线且有公共点A，所以M，A，N三点共线．1．下列命题中正确的个数是()①AB→＋BA→＝0；②AB→－AC→＝BC→；③0·AB→＝0.A．1B．2C．3D．0解析：选A.由两相反向量的和为零向量知①正确；由向量的减法运算法则知，AB→－AC→＝CB→，②错；由数乘向量的意义知0·AB→＝0，③错，即正确的个数是1，故选A.2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→解析：选A.法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.3．对于向量a，b有下列表示：-7-①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：选A.对于①，b＝－a，有a∥b；对于②，b＝－2a，有a∥b；对于③，a＝4b，有a∥b；对于④，a与b不共线．4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.解析：由题意知a＝－57b.答案：－57[A基础达标]1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B.原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B.①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.3．若5AB→＋3CD→＝0，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形-8-C．矩形D．等腰梯形解析：选D.由5AB→＋3CD→＝0知，AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→|，故此四边形为梯形，又|AD→|＝|BC→|，所以梯形ABCD为等腰梯形．4．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b.A．①②B．①③C．②D．③④解析：选A.对于①，可解得a＝27e，b＝－87e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa－μb＝0得a＝μλb，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有AB∥CD这个条件，也可能AD∥BC，故a与b不一定共线．5．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→＝()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→解析：选D.EC→＝12AB→，CF→＝23CB→＝－23AD→，所以EF→＝EC→＋CF→＝12AB→－23AD→.6．已知A，B，C是三个不同的点，OA→＝a－b，OB→＝2a－3b，OC→＝3a－5b，则A，B，C三点________．(填写“共线”或“不共线”)答案：共线7．若AP→＝tAB→(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP→＝________．(用OA→，OB→表示)解析：AP→＝tAB→，OP→－OA→＝t(OB→－OA→)，OP→＝OA→＋tOB→－tOA→＝(1－t)OA→＋tOB→.答案：(1－t)OA→＋tOB→-9-8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA→－3OB→＋2OC→＝0，则|AB→||BC→|＝________．解析：因为OA→－3OB→＋2OC→＝0，所以OB→－OA→＝2(OC→－OB→)，所以AB→＝2BC→，所以|AB→||BC→|＝2.答案：29.如图在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB，DC与OA的交点为E，设OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示向量OC→，DC→.解：因为AC＝BA，所以A是BC的中点，所以OA→＝12(OB→＋OC→)，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－