2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理 6.2.2 直

-1-6．2.1向量基本定理6．2.2直线上向量的坐标及其运算考点学习目标核心素养共线向量基本定理掌握共线向量基本定理数学抽象、数学运算平面向量基本定理理解平面向量基本定理数学抽象、数学运算向量的应用两定理的熟练应用数学建模、逻辑推理直线上向量的坐标及其运算理解直线上向量的坐标的含义及其运算数学抽象，数学运算问题导学预习教材P152－P159的内容，思考以下问题：1．共线向量基本定理是怎样表述的？2．用向量证明三点共线有哪些方法？3．平面向量基本定理的内容是什么？4．如何定义平面向量基底？5．实数与直线上的向量建立了什么关系？1．共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB→＝λAC→．2．平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．■名师点拨(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量．(2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的．(3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．3．直线上向量的坐标-2-给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．当x0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x0时，a的方向与e的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．4．直线上向量的运算与坐标的关系假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，ua－vb的坐标为ux1－vx2．设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则OA→＝x1e，OB→＝x2e，因此，AB→＝OB→－OA→＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．AB＝|AB→|＝|x2－x1|．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.()答案：(1)×(2)√(3)×如果向量a与向量b不平行，则与a，b都不平行的向量是()A．3a＋2bB．2aC．－32aD．－3b答案：A数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1，2，5，则()A.AB→的坐标为－3B.BC→的坐标为3C.AC→的坐标为－6D.BC→的坐标为－3答案：B如图所示，向量OA→可用向量e1，e2表示为________．-3-解析：由题图可知，OA→＝4e1＋3e2.答案：4e1＋3e2共线向量基本定理已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？【解】若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)．因为m，n不共线，所以6λ＝3，－8λ＝4.因为不存在λ同时满足此方程组，所以a与b不共线．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．设非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线？解：设ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.因为e1与e2不共线，所以只能有k－λ＝0，λk－1＝0，则k＝±1.用基底表示向量如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC→＝a，BD→＝b，试用基底a，b表示AB→，BC→.【解】由题意知，AO→＝OC→＝12AC→＝12a，BO→＝OD→＝12BD→＝12b.-4-所以AB→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝12a－12b，BC→＝BO→＋OC→＝12a＋12b.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA→＝a，BC→＝b.试以a，b为基底表示EF→，DF→，CD→.解：因为AD∥BC，且AD＝13BC，所以AD→＝13BC→＝13b.因为E为AD的中点，所以AE→＝ED→＝12AD→＝16b.因为BF→＝12BC→，所以BF→＝12b，所以EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－16b－a＋12b＝13b－a.DF→＝DE→＋EF→＝－16b＋13b－a＝16b－a.CD→＝CF→＋FD→＝－(DF→＋FC→)＝－(DF→＋BF→)＝－16b－a＋12b＝a－23b.直线的向量参数方程式的应用已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有OC→＝3λOA→＋(1－3λ)OB→-5-(λ∈R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．【解】法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.法二：将已知向量等式两边同时减去OA→，得OC→－OA→＝(3λ－1)OA→＋(1－3λ)OB→＝(1－3λ)(OB→－OA→)＝(1－3λ)AB→，即AC→＝(1－3λ)AB→，λ∈R，所以A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.直线的向量参数方程式的应用(1)若A，B，C三点共线，则有OC→＝xOA→＋yOB→，且x＋y＝1.(2)若OC→＝xOA→＋yOB→，且x＋y＝1，则有A，B，C三点共线．在△ABC中，D为AB上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________．解析：法一：因为AD→＝2DB→，所以AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)．因为在△ACD中，CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.法二：因为AD→＝2DB→，所以A，B，D三点共线，又因为C在直线AB外，则13＋λ＝1，所以λ＝23.答案：23直线上向量的坐标及长度运算已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.-6-(1)x2＝－5，BA→的坐标为－3；(2)x2＝－1，|AB→|＝2.【解】(1)因为BA→的坐标为x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB→|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.直线上向量的坐标及长度计算的方法(1)直线上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)直线上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3，7，求AB→，BC→，CA→的坐标和长度．解：AB→的坐标为(－3)－(－8)＝5，|AB→|＝5；BC→的坐标为7－(－3)＝10，|BC→|＝10；CA→的坐标为(－8)－7＝－15，|CA→|＝15.1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB→，DC→B.AD→，BC→C.BC→，CB→D.AB→，DA→解析：选D.由于AB→，DA→不共线，所以可以作为一组基底．2．设D为△ABC所在平面内一点，若BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→解析：选A.因为BC→＝3CD→，所以AC→－AB→＝3(AD→－AC→)＝3AD→－3AC→，所以3AD→＝4AC→－AB→，-7-所以AD→＝43AC→－13AB→＝－13AB→＋43AC→.3．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3.答案：34．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.(1)若|BD→|＝6，求d的值；(2)若AC→＝－3AD→，求证：3CD→＝－4AC→.解：(1)因为|BD→|＝6，所以|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，所以d＝4或d＝－8.(2)证明：因为AC→的坐标为c＋4，AD→的坐标为d＋4，所以c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.因为3CD→的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，－4AC→的坐标为－4[c－(－4)]＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，所以3CD→＝－4AC→.[A基础达标]1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1－e2，e1－12e2C．2e2－3e1，6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2解析：选D.e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．2．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于()-8-A．1B．2C．－7D．1或－7解析：选D.|MN|＝|xN－(－3)|＝4，所以xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.3．如图，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C.不妨令a＝CA→，b＝CB→，则a－b＝CA→－CB→＝BA→，由平行四边形法则可知BA→＝e1－3e2.4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，则()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D.2AO→＝OD→解析：选A.因为在△ABC中，D为边BC的中点，所以OB→＋OC→＝2OD→，所以2(OA→＋OD→)＝0，即OA→＋OD→＝0，从而AO→＝OD→.5．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，又AP→＝tAB→，则t的值为()A.13B.23C.12D.53解析：选A.因为AP→＝tAB→，所以CP→－CA→＝t(CB→－CA→)，CP→＝(1－t)CA→＋tCB→.又CP→＝23CA→＋13CB→且CA→与CB→不共线，所以t＝13.6．如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设AB→＝a，AD→＝b，若用a，b表示向量AN→，则AN→＝________．-9-解析：以AB→＝a，AD→＝b作为以A点为公共起点的一组基底，则AN→＝AD→＋DN→＝AD→＋34DB→＝AD→＋34(AB→－AD→)＝14AD→＋34AB→＝34a＋14b.答案：34a＋14b7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．解析：因为向量a与b共线，所以存在实数λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.因为e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，所以k＝4λ，1＝2