2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其

-1-4．1.1实数指数幂及其运算考点学习目标核心素养根式的概念及运算性质理解n次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算数学抽象实数指数幂学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值数学运算问题导学预习教材P3－P8的内容，思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？1．有理指数幂(1)一般地，an中的a称为底数，n称为指数．(2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．①0的任意正整数次方根均为0，记为n0＝0．②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为na，负的方根记为－na；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为na．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．(3)当na有意义的时候，na称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．一般地，根式具有以下性质：①(na)n＝a.-2-②nan＝a，当n为奇数时，|a|，当n为偶数时.(4)一般地，如果n是正整数，那么：当na有意义时，规定a1n＝na；当na没有意义时，称a1n没有意义．对于一般的正分数mn，也可作类似规定，即amn＝(na)m＝nam．但值得注意的是，这个式子在mn不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝1as．(5)有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs．■名师点拨(1)(na)n中当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0，但nan中a∈R.(2)分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．2．实数指数幂一般地，当a0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．()(3)（3－π）2＝π－3.()(4)0的任何指数幂都等于0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列运算中，正确的是()A．a2·a3＝a6B．(－a2)5＝(－a5)2C．(a－1)0＝0D．(－a2)5＝－a10解析：选D.a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(a－1)0无意义；当a≠1时，(a－1)0＝1.-3-化简：214－3－8＋4116＝________．解析：原式＝322－3（－2）3＋4124＝32－(－2)＋12＝4.答案：4根式与分数指数幂的互化(1)若(x－2)－34有意义，则实数x的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．(－∞，2)(2)化简（x＋3）2－3（x－3）3得()A．6B．－2xC．6或－2xD．6或2x或－2x(3)用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)．①3a·4a；②aaa；③3a2·a3；④(3a)2·ab3.【解】(1)选C.由负分数指数幂的意义可知，(x－2)－34＝14（x－2）3，所以x－20，即x2，所以x的取值范围是(2，＋∞)．(2)选C.原式＝|x＋3|－(x－3)＝6（x≥－3），－2x（x－3）.(3)①原式＝a13·a14＝a13＋14＝a712.②原式＝a12·a14·a18＝a12＋14＋18＝a78.③原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.-4-④原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a23＋12b32＝a76b32.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数←―→化为分数指数的分母，被开方数（式）的指数←―→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．将下列根式与分数指数幂进行互化．(1)a23；(2)a－34；(3)x3·3x2(x0)．解：(1)a23＝3a2.(2)a－34＝14a3.(3)x3·3x2＝x3·x23＝x113(x0)．根式、分数指数幂的化简与求值计算下列各式：(1)0.064－13－－870＋[(－2)3]－43＋16－0.75；(2)14－12×（4ab－1）30.1－2（a3b－3）12(a0，b0)；(3)a35b2·35b34a3.【解】(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝412×432100.-5-