2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较学案

-1-4．5增长速度的比较考点学习目标核心素养平均变化率了解平均变化率描述增长速度的概念数学抽象模型增长差异了解在实际生活中不同增长规律的函数模型数学建模问题导学预习教材P38－P40的内容，思考以下问题：1．平均变化率是如何定义的？2．如何用平均变化率描述增长速度？3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？1．平均变化率我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)或[x2，x1](x1x2时)上的平均变化率为ΔfΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加ΔfΔx个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．2．几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y＝kx(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型-2-当x0，n1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x1时，n越大其函数值的增长速度就越快．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()(2)对任意的x＞0，kx＞logax.()(3)对任意的x＞0，ax＞logax.()(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝3xD．y＝e－x答案：A函数f(x)＝x从0到2的平均变化率为()A.22B．1C．0D．2解析：选A.由题意可知，函数f(x)＝x从0到2的平均变化率为f（2）－f（0）2－0＝22，故选A.平均变化率的比较(1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．【解析】(1)Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率-3-k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋Δx＝－1013.所以k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.(2)v1＝s（t1）－s（t0）t1－t0＝kOA，v2＝s（t2）－s（t1）t2－t1＝kAB，v3＝s（t3）－s（t2）t3－t2＝kBC，又因为kBC＞kAB＞kOA，所以v3＞v2＞v1.【答案】(1)B(2)v3＞v2＞v1求平均变化率的主要步骤(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)求Δx＝x2－x1.(3)求平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.1．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()A．k1＜k2B．k1＞k2C．k1＝k2D．无法确定解析：选D.k1＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝2x0＋Δx，k2＝f（x0）－f（x0－Δx）Δx＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定，选D.2.如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；②在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率；③在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；④在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率．解析：由图像知，0～t0范围：v甲＝v乙＝s0t0；-4-t0～t1范围：v甲＝s2－s0t1－t0，v乙＝s1－s0t1－t0.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以v甲＞v乙．所以③正确．答案：③函数模型增长差异的比较甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．【答案】③④⑤常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长-5-时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2tB．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2解析：选A.根据已知所给的关系图，观察得到图像在第一象限，且从左到右图像是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.不同增长函数模型的图像特征函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数；图像增长速度不变的是一次函数．1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y1呈指数函数变化．答案：y1-6-2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图像可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＞0.1时，由1＝1160.1－a，得a＝0.1，则当t＞0.1时，y＝116t－110.故y＝10t，0≤t≤110，116t－110，t＞110.(2)由题意可知，116t－110＜0.25，得t＞0.6.答案：(1)y＝10t，0≤t≤110，116t－110，t＞110(2)0.61．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为()A．x0＋ΔxB．1＋ΔxC．2＋ΔxD．2解析：选D.由题意，可得平均变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝2（x0＋Δx）－2x0Δx＝2，故选D.2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2xD．y＝2x答案：D-7-3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋bx答案：B4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．答案：甲[A基础达标]1．函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2解析：选C.依题意，所求平均变化率为（1＋Δx）2－12Δx＝2＋Δx，故选C.2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：选B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是()解析：选C.小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因-8-交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2B．y＝12xC．y＝log2xD．y＝12(x2－1)解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是()解析：选D.设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图像大致为D中图像．6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，所以x2要比xlnx增长得快．答案：y＝x27.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②