2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3 对数函数的性质

-1-第1课时对数函数的性质与图像考点学习目标核心素养对数函数的概念理解对数函数的概念，会判断对数函数数学抽象对数函数的图像初步掌握对数函数的图像与性质直观想象、数学运算对数函数的简单应用能利用对数函数的性质解决与之有关的问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？对数函数一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a0且a≠1.对数函数y＝logax的性质：(1)定义域是(0，＋∞)，因此函数图像一定在y轴的右边．(2)值域是实数集R．(3)函数图像一定过点(1，0)．(4)当a1时，y＝logax是增函数；当0a1时，y＝logax是减函数．(5)对数函数的图像■名师点拨底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝logx12是对数函数．()-2-(2)函数y＝2log3x是对数函数．()(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．()答案：(1)×(2)×(3)×函数f(x)＝x－1＋lgx的定义域是()A．(0，＋∞)B．(0，1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选C.因为x－1≥0x0，所以x≥1.下列不等号连接错误的一组是()A．log0.52.2log0.52.3B．log34log65C．log34log56D．logπelogeπ解析：选D.函数y＝logπx在定义域上单调递增，eπ，则logπelogππ＝1.同理，logeπlogee＝1，则logπelogeπ.故D错误．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________.解析：由题意可得03a－11，解得13a23，所以实数a的取值范围是13，23.答案：13，23对数函数的概念判断下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.【解】(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.-3-(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定解析：选A.设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，所以a2＝4，所以a＝2，所以该对数函数的解析式为y＝log2x.对数函数的图像如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取3，43，35，110，则对应于c1、c2、c3、c4的a值依次为()A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35【解析】法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图像靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为3、43.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为35、110.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为3、43、35、110.故选A.法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为3、43、35、110，故选A.-4-【答案】A函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．1．函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点()A．(1，2)B．(2，1)C．(－2，1)D．(－1，1)解析：选D.令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点(－1，1)．2．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1解析：选B.作直线y＝1，则直线y＝1与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.与对数函数有关的定义域问题若f(x)＝1log12（2x＋1），则f(x)的定义域为()-5-A.－12，0B.－12，＋∞C.－12，0∪(0，＋∞)D.－12，2【解析】由题意知2x＋1＞0，2x＋1≠1，解得x＞－12且x≠0.【答案】C求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]解析：选B.因为y＝xln(1－x)，所以x≥0，1－x＞0，解得0≤x＜1.1．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx解析：选D.选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0且a≠1)”的形式，只有D选项符合．2．函数f(x)＝11－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A.－13，＋∞B.－∞，－13C.－13，13D.－13，1解析：选D.由1－x＞0，3x＋1＞0，可得－13＜x＜1.3．函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是()-6-解析：选A.函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，排除C项，当0a1时，y＝ax为减函数，y＝－logax为增函数，排除D项，故A项正确．4．若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图像过定点为________．解析：函数图像过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0，所以x－1＝1，x＝2，y＝1，所以y＝loga(x－1)＋1过定点(2，1)．答案：(2，1)5．比较下列各组数的大小：(1)log22________log23；(2)log32________1；(3)log134________0.解析：(1)底数相同，y＝log2x是增函数，所以log22＜log23.(2)log32＜log33＝1.(3)log134＜log131＝0.答案：(1)＜(2)＜(3)＜[A基础达标]1．函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C.由题意知1＋x0，1－x≠0，解得x－1且x≠1.2．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()-7-A．y＝log4xB．y＝log14xC．y＝log12xD．y＝log2x解析：选D.由于对数函数的图像过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以此对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log2(3x＋1)＞0.所以函数f(x)的值域为(0，＋∞)．4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是()解析：选C.由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图像向左平移1个单位(或令x＝0得y＝0)，而且函数为增函数，故选C.5．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图像过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是()A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有0＝loga（4－m），1＝loga（7－m）.解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f(x)在定义域上是增函数．6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，a2－4a－5＝0，a＞0，a≠1，解得a＝5.答案：57．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像过定点P，则点P的坐标是________．解析：y＝logax的图像恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.答案：(4，－1)8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1，3]时，f(x)的值域是________．解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1，3]，-8-所以0≤f(x)≤1.答案：[0，1]9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，所以函数的定义域为{x|x＞－2}．10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．解：(1)由x－2＞0，得x＞2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.又因为x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝32，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是32，＋∞.[B能力提升]11．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．[2，＋∞)D．[3，＋∞)解析：选C.当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.所以函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．12．函数f(x)＝x－4lgx－1的定义域是()A．[4，＋∞)B．(10，＋∞)C．(4，10)∪(10，＋∞)D．[4，10)∪(10，＋∞)解析：选D.由x－4≥0，lgx－1≠0，x＞0，解得x≥4，x≠10，x＞0，所以x≥4且x≠10，所以函数f(x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.13．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．-9-解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则3－a＞1，a＞1，即1＜a＜2，若f(x)，g(x)均为减函数，则0＜3－a＜1，0＜a＜1无解．所以a的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)14．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图像；(2)若f(a)f(2)，利用图像求a的取值范围．解：(1)作出函数y＝f(x)＝log3x的图像如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图像知：当0a2时，恒有f(a)f(2)．所以所