2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数

-1-4．3指数函数与对数函数的关系考点学习目标核心素养反函数了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系数学抽象指数、对数函数的图像与性质的应用利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题数学抽象、数学运算问题导学预习教材P30－P31的内容，思考以下问题：1．反函数是如何定义的？2．互为反函数的函数有哪些性质？1．一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．2．一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．3．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定存在．如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝12x的反函数是y＝logx12.()(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.()(3)函数y＝ex的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称．()答案：(1)×(2)×(3)×函数f(x)＝12x的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点________．-2-解析：f(x)＝12x的反函数为g(x)＝log12x，所以g(x)的图像一定过点(1，0)．答案：(1，0)函数y＝x＋3的反函数为________．解析：由y＝x＋3得x＝y－3，x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3.(x∈R)．答案：y＝x－3(x∈R)求反函数写出下列函数的反函数：(1)y＝lgx；(2)y＝5x＋1；(3)y＝(2)x；(4)y＝x2(x≤0)．【解】(1)y＝lgx的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x.(2)由y＝5x＋1，得x＝y－15，所以反函数为y＝x－15(x∈R)．(3)y＝(2)x的底数为2，它的反函数为对数函数y＝log2x(x＞0)．(4)由y＝x2得x＝±y.因为x≤0，所以x＝－y.所以反函数为y＝－x(x≥0)．求反函数的一般步骤(1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围．(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．(3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域．函数y＝x－1＋1(x≥1)的反函数是()A．y＝x2－2x＋2(x1)B．y＝x2－2x＋2(x≥1)C．y＝x2－2x(x1)-3-D．y＝x2－2x(x≥1)解析：选B.由y＝x－1＋1，得x＝(y－1)2＋1，即x＝y2－2y＋2，因为x≥1，所以y＝x－1＋1≥1，所以反函数为y＝x2－2x＋2(x≥1)．互为反函数的性质应用已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，求a，b的值．【解】因为y＝ax＋b的图像过点(1，4)，所以a＋b＝4.①又因为y＝ax＋b的反函数图像过点(2，0)，所以点(0，2)在原函数y＝ax＋b的图像上．所以a0＋b＝2.②联立①②得a＝3，b＝1.互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．已知f(x)＝log3x，则f－1(4)＝________．解析：由log3x＝4，得x＝34＝81.即f－1(4)＝34＝81.答案：81指数、对数函数图像与性质的应用设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．【解】将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．-4-由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A、B都在直线y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题．函数f(x)＝lgx＋x－3的零点所在区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，＋∞)解析：选C.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图像．它们交点的横坐标x0显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观想象很难做出判断．实际上这是要比较x0与2的大小．当x＝2时，lgx＝lg2，－x＋3＝1，由于lg2＜1，因此x0＞2，从而得到x0∈(2，3)，故选C.1．函数y＝log12x(x＞0)的反函数是()A．y＝x12，x＞0B．y＝12x，x∈RC．y＝x2，x∈RD．y＝2x，x∈R解析：选B.互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同．2．若函数f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2xB.12xC．log12xD．2x－2解析：选A.y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.-5-3．已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0且a≠1)，下列说法不正确的是()A．两者的图像关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C．两函数在各自的定义域内的增减性相同D．y＝ax的图像经过平移可得到y＝logax的图像解析：选D.由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A、B、C选项均正确．4．已知y＝14x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－12，则x0等于()A．－2B．－1C．2D．12解析：选C.y＝14x的反函数是f(x)＝log14x，所以f(x0)＝log14x0＝－12.所以x0＝14－12＝122－12＝2.[A基础达标]1．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1，9]C．(0，1)D．[9，＋∞)解析：选B.由于反函数的定义域为原函数的值域，因为0＜x≤2，所以y＝3x∈(1，9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1，9]．2．函数y＝－1－x(x≤1)的反函数是()A．y＝x2－1(－1≤x≤0)B．y＝x2－1(0≤x≤1)C．y＝1－x2(x≤0)D．y＝1－x2(0≤x≤1)解析：选C.因为x≤1，所以－x≥－1，1－x≥0，所以1－x≥0，所以－1－x≤0，所以y≤0.原函数的值域应与反函数的定义域相同，所以选项中只有C的定义域满足小于等于0.3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图像过点(2，1)，其反函数图像过点(2，8)，则a＋b等于()-6-A．6B．5C．4D．3解析：选C.由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图像过点(2，1)和(8，2)，所以loga（2＋b）＝1，loga（8＋b）＝2，所以a＝2＋b，a2＝8＋b.解得a＝3，b＝1.所以a＋b＝4.4．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限解析：选B.因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．5．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．解析：f－1(x)的定义域为f(x)的值域，因为x≥1，所以log2x≥0，所以log2x＋3≥3，所以f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)6．若函数f(x)＝y＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________．解析：法一：函数f(x)的值域为R，由y＝2x＋1，得x＝y－12，故f－1(x)＝x－12，故f－1(－2)＝－2－12＝－32.法二：由互为反函数的两函数定义域、值域的关系，令2x＋1＝－2，得x＝－32.故f－1(－2)＝－32.答案：－327．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________．解析：当x＝－2时，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，-7-所以f(x)恒过(－2，0)点，即反函数的图像恒过点P(0，－2)．答案：(0，－2)8．求下列函数的反函数．(1)f(x)＝12x＋1；(2)f(x)＝1－1－x2(－1≤x＜0)．解：(1)设y＝f(x)＝12x＋1，则y≠0.由y＝12x＋1，解得x＝1－y2y.所以f－1(x)＝1－x2x(x≠0)．(2)设y＝f(x)＝1－1－x2.因为－1≤x＜0，所以0＜y≤1.由y＝1－1－x2，解得x＝－2y－y2.所以f－1(x)＝－2x－x2(0＜x≤1)．9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x0，即x2，故原函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.(2)由f(x)＝y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，即x＝2－ay.所以f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1x2.因为f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，因为a1，x1x2，所以ax1ax2，即ax1－ax20，所以f－1(x2)f－1(x1)，所以y＝f－1(x)在R上是减函数．[B能力提升]10．函数y＝ln2x(x＞0)的反函数是()-8-A．y＝12ex(x∈R)B．y＝e2x(x∈R)C．y＝2ex(x∈R)D．y＝ex2(x∈R)解析：选A.由y＝ln2x(x＞0)，得x＝12ey，所以所求的反函数是y＝12ex(x∈R)．11．已知a0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是图中的()解析：选B.y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．因为在y＝loga(－x)中，－x0，即x0，所以排除A、C.当0a1时，在D中，loga(－x)应是递增的，故D错误．12．已知f(x)＝x－3a(a＞0)，若f－1(x)的定义域是1a，4a，则f(x)的定义域是________．解析：f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，所以1a≤x－3a≤4a.又a＞0，所以4≤x≤7.所以f(x)的定义域为[4，7]．答案：[4，7]13．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上存在反函数，求a的取值范围．解：若函数f(x)在区间[1，2]上存在反函数，则f(x)在[1，2]上为单调函数，f(x)＝x2－2ax－3的对称轴是直线x＝a，要使f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上为单调函数，则[1，2]⊆(－∞，a]或[1，2]⊆[a，＋∞)，即a≥2或a≤1.所以a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．[C拓展探究]14．已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为