2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题1 三角函数和解三角形 解密高考1 三角函数问题重在“变”

-1-解密高考①三角函数问题重在“变”——变式、变角————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换，如：75°＝30°＋45°；(2)已知角与目标角的变换，如：π3＋α＝π2－π6－α；(3)角与其倍角的变换，如：α＋β＝2·α＋β2；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2－α2－β等．2．常用的变式技巧(1)解决与三角函数性质有关的问题，常先将它的表达式统一化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；(2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题，常做换元处理，如令t＝sinx±cosx∈[－2，2]，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.本题考查：三角恒等变换、正(余)弦定理等知识，等价转化、转化化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.-2-[审题指导·发掘条件](1)看到sinA、sinB、sinC的等量关系，想到利用正(余)弦定理求A；(2)看到边a，b，c的等量关系想到利用正弦定理化边为角，看到求sinC想到B＝180°－A－C；缺与角C的相关的三角函数值，借助同角三角函数的关系补找该条件．[构建模板·四步解法]三角函数类问题的求解策略第一步找条件第二步巧转化第三步得结论第四步再反思分析寻找三角形中的边角关系根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化利用三角恒等变换进行变形，得出结论审视转化过程的等价性与合理性母题突破：2019年天津高考，本小题满分12分在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.(1)求cosB的值；-3-(2)求sin2B＋π6的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.1分又因为b＋c＝2a，得到b＝43a，c＝23a.2分由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋49a2－169a22·a·23a＝－14.4分(2)由(1)得sinB＝1－cos2B＝154，5分从而sin2B＝2sinBcosB＝－158，6分cos2B＝cos2B－sin2B＝－78，8分故sin2B＋π6＝sin2Bcosπ6＋cos2Bsinπ610分＝－158×32－78×12＝－35＋716.12分