2020版高考数学二轮复习 第3部分 策略4 妙用8个二级结论巧解高考题教案 理

-1-策略4妙用8个二级结论巧解高考题奇函数的最值性质已知函数fx是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有fx＋f－x＝0.特别地，若奇函数fx在D上有最值，则fxmax＋fxmin＝0，且若0∈D，则f＝0.【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为()A．－5B．－3C．－1D．5(2)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝log3(x＋x2＋1)＋2exex＋1在[－k，k]，(k0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝()A．4B．2C．1D．0(1)C(2)B[(1)令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，所以F(x)为奇函数，∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5,∴F(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，F(－x)≤3⇒F(x)≥－3，∴h(x)≥－3＋2＝－1，故选C.(2)已知f(x)＝log3(x＋x2＋1)＋2exex＋1，则f(－x)＝log3(－x＋x2＋1)＋2e－xe－x＋1，则f(x)＋f(－x)＝2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，令g(x)＝f(x)－1，则g(x)＋g(－x)＝f(x)－1＋f(－x)－1＝0，则g(x)在定义域内为奇函数．设g(x)的最大值为t，则最小值为－t，则f(x)的最大值为M＝t＋1，最小值为m＝－t＋1，则M＋m＝2，故选B.]【链接高考1】(2012·新课标全国)设函数f(x)＝x＋12＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.2[显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x＋12＋sinxx2＋1＝1＋2x＋sinxx2＋1，-2-设g(x)＝2x＋sinxx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]抽象函数的周期性与对称性1．函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1fx(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.2．函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．【典例2】(1)(2019·德州市高三联考)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2019)＝()A．20192B．1C．0D．－1(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)＝(x－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2019，y2019)，则∑2019i＝1.]