2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题5 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质教案 文

-1-第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1．椭圆C：x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为()A．12B．16C．20D．24C[△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C.]2．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线D[由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]3．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.17[由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]4．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e＝23，则实数k的值是________．209或365[当k＞4时，有e＝1－4k＝23，解得k＝365；当0＜k＜4时，有e＝1－k4＝-2-23，解得k＝209.故实数k的值为209或365.]5．双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.5[∵双曲线的标准方程为x2a2－y29＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.]6．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．0，－132[由8x2＋y＝0，得x2＝－18y.∴2p＝18，p＝116，∴焦点为0，－132.][扣要点——查缺补漏]1．圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T1，T2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．2．圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，如T4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读]高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，-3-B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1切入点：|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A的位置，求a，b的值．B[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，AF2→＝2F2B→，∴B32，－b2.将B点坐标代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．切入点：△APF的周长最小．关键点：根据双曲线的定义及△APF周长最小，确定P点坐标．126[由双曲线方程x2－y28＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝32662＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．-4-由题意可知直线AF1的方程为y＝26x＋66，由y＝26x＋66，x2－y28＝1，得y2＋66y－96＝0，解得y＝26或y＝－86(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝12×6×66－12×6×26＝126.][教师备选题]1．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________．x24－y2＝1[法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.法二：∵渐近线y＝12x过点(4,2)，而32，∴点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，-5-解得a2＝4，b2＝1，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.]2．(2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x23－y29＝1B.x29－y23＝1C.x24－y212＝1D.x212－y24＝1A[设双曲线的右焦点为F(c,0)．将x＝c代入x2a2－y2b2＝1，得c2a2－y2b2＝1，∴y＝±b2a.不妨设Ac，b2a，Bc，－b2a.双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0，则d1＝b·c－a·b2ab2a2＝|bc－b2|c＝bc(c－b)，d2＝b·c＋a·b2ab2a2＝|bc＋b2|c＝bc(c＋b)，∴d1＋d2＝bc·2c＝2b＝6，∴b＝3.∵ca＝2，c2＝a2＋b2，∴a2＝3，∴双曲线的方程为x23－y29＝1.故选A.]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；-6-(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程；(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．1．(椭圆的定义)设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为()A.514B.59C.49D.513D[如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝b2a＝53，|PF1|＝2a－|PF2|＝133，所以|PF2||PF1|＝513.故选D.]2．(双曲线的标准方程)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.x24－y216＝1B.x216－y24＝1C.x216－y264＝1D.x264－y216＝1A[易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得ba＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1.]3．(抛物线的定义)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.-7-4[设直线AB的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C(图略)，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p2＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p2＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读]高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点．关键点：正确用p表示抛物线和椭圆的焦点．D[抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，∴p＝0(舍去)或p＝8.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C．2D.5切入点：以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2相交且|PQ|＝|OF|.关键点：正确确定以OF为直径的圆的方程．A[令双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝a2＋b2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，-8-|OM|＝|MP|＝c2，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得c22＋c22＝a2，∴ca＝2，即离心率e＝2.故选A.]3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)切入点：C上存在点M满足∠AMB＝120°.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m的不等式．A[法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝3＋x|y|＋3－x|y|1－3＋x|y|·3－x|y|＝23|y|x2＋y2－3.又tan∠AMB＝tan120°＝－3，且由x23＋y2m＝1可得x2＝3－3y2m，则23|y|3－3y2m＋y2－3＝23|y|1－3my2＝－3.解得|y|＝2m3－m.又0|y|≤m，即0＜2m3－m≤m，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y