2020版高考数学二轮复习 第3部分 策略1 活用4大数学思想 1 函数与方程思想教案 文

-1-1．函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用1目标函数法求最值【典例1】(1)在平面直角坐标系中，已知点A(－1,0)，B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF→|＝2，则AE→·BF→的最小值为________．(2)已知斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．(1)－3(2)4105[(1)∵E，F是y轴上的两个动点，且|EF→|＝2，不妨设E(0，t)，F(0，t＋2)，则AE→＝(0，t)－(－1,0)＝(1，t)．BF→＝(0，t＋2)－(2,0)＝(－2，t＋2)，AE→·BF→＝t2＋2t－2.令f(t)＝AE→·BF→＝(t＋1)2－3≥－3，当且仅当t＝－1时取等号．即AE→·BF→的最小值为－3.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t2－15，∴|AB|＝2|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·－85t2－4×4t2－15＝4255－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.]-2-目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法.有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法.求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练1】已知在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝120°，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且OP→＝λOA→＋μOC→，则λ＋μ的最大值为________．2213[建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0,0)，A(2,0)，C－12，32，则OA→＝(2,0)，OC→＝－12，32，设P(2cosθ，2sinθ)，则λ(2,0)＋μ－12，32＝(2cosθ，2sinθ)，即2λ－12μ＝2cosθ，32μ＝2sinθ，解得μ＝43sinθ，λ＝cosθ＋13sinθ，则λ＋μ＝53sinθ＋cosθ＝2213sin(θ＋φ)，其中tanφ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.]【对点训练2】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．23[如图，三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱．AB＝2，三角形ADE为直角三角形，∠ADE＝90°.设BD＝x，CE＝y，则AD2＝4＋x2，AE2＝4＋y2，-3-ED2＝4＋(y－x)2.∵AE2＝AD2＋DE2，∴4＋y2＝4＋x2＋4＋(y－x)2，解得y＝x＋2x.∵AE2＝4＋y2＝4＋x＋2x2≥4＋(22)2＝12.∴AE≥23，当且仅当x＝2时取等号．即直角三角形斜边的最小值为23.]应用2分离参数法求参数范围【典例2】(1)若方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2上有解，则实数a的取值范围为________．(2)已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．(1)(－1,1](2)94，＋∞[(1)由cos2x－sinx＋a＝0，得a＝sin2x＋sinx－1.问题变成求函数a＝sin2x＋sinx－1在x∈0，π2上的值域问题．∵a＝sinx＋122－54，而0sinx≤1，∴－1a≤1，即a的取值范围为(－1,1]．(2)由f(x)＝x－1x＋1得f′(x)＝1＋1x＋120.∴f(x)在[0,1]上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝－1，∴存在x2∈[1,2]使－1≥x2－2ax＋4，即2a≥x＋5x在[1,2]上有解，∴2a≥x＋5xmin，易知y＝x＋5x在(0，5]上递减，∴y＝x＋5x在[1,2]上递减．∴x＋5xmin＝2＋52＝92，∴2a≥92，a≥94，∴a的取值范围为94，＋∞.]在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定-4-义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.②不等式有解、恒成立求参数的方法：gafx恒成立，则gafxmax.gafx恒成立，则gafxmin，gafx有解，则gafxmin，gafx有解，则gafxmax.分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！【对点训练3】对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．[－2，＋∞)[当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，则有a≥－1－|x|2|x|＝－|x|＋1|x|，设f(x)＝－|x|＋1|x|，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋1|x|≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.]【对点训练4】已知函数f(x)＝lg1＋2x＋4x·aa2－a＋1，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，则实数a的取值范围为________．－34，＋∞[参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其他变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x＋4x·aa2－a＋1＞0，且a2－a＋1＝a－122＋34＞0，得1＋2x＋4x·a＞0，故a＞－14x＋12x.当x∈(－∞，1]时，y＝14x与y＝12x都是减函数，因此，函数y＝－14x＋12x在(－∞，1]上是增函数，所以－14x＋12xmax＝－34，a＞－34，故a的取值范围是－34，＋∞.]-5-应用3构造函数解不等式、比较大小【典例3】(1)已知函数f(x)满足f(x)＞f′(x)，在下列不等式关系中，一定成立的是()A．ef(1)＞f(2)B．ef(1)＜f(2)C．f(1)＞ef(2)D．f(1)＜ef(2)(2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x＞0时，xf′(x)＜－2f(x)，则使f(x)＞0成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(1)A(2)B[(1)∵f(x)＞f′(x)，∴f′(x)－f(x)＜0.∴令g(x)＝fxex，则g′(x)＝fxfxex＜0，∴g(x)单调递减，又1＜2.∴g(1)＞g(2)，即f1e1＞f2e2，∴ef(1)＞f(2)．选A.(2)令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]．当x＞0时，由题设可得F′(x)＜0，即函数F(x)＝x2f(x)是单调递减函数，当x＜0时，函数F(x)＝x2f(x)是单调递增函数．又由题设可知F(1)＝F(－1)＝0，所以不等式F(x)＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f(x)＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.]根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数.根据式子的结构构造相应函数：xmfx＝xm－1mfx＋xfx；②fxx′＝xfxfxx2；xfx＝exfx＋fx；④fxex′＝fxfxex；x·lnx＝lnx＋1.-6-【对点训练5】若0＜x1＜x2＜1，则()A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex2C[设f(x)＝ex－lnx(0＜x＜1)，则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝1x的图象可知两函数图象的交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确．设g(x)＝exx(0＜x＜1)，则g′(x)＝exx－1x2.又0＜x＜1，∴g′(x)＜0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．又0＜x1＜x2＜1，∴g(x1)＞g(x2)，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.]【对点训练6】定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＞f′(x)，且f(0)＝1，则不等式fxex＜1的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)B[构造函数g(x)＝fxex，则g′(x)＝ex·fxex·fxex2＝fxfxex.由题意得g′(x)＜0恒成立，所以函数g(x)＝fxex在R上单调递减．又g(0)＝f0e0＝1，所以fxex＜1，即g(x)＜1，解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]应用4利用方程思想求值【典例4】(1)函数f(x)＝xlnx在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．(2)(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则x＋y＋z＝100，5x＋3y＋13z＝100，当z＝81时，x＝________，y＝________.-7-(1)(1,0)(2)811[(1)∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴lnx0＋1＝1，lnx0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．(2)法一：由题意，得x＋y＋81＝100，5x＋3y＋13×81＝100，即x＋y＝19，5x＋3y＝73，解得x＝8，y＝11.法二：100－81＝19(只)，81÷3＝27(元)，100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)．因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只)．]方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练7】(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．[解](1)∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.(2)法一：由a1＝－10，d＝2，得：-8-Sn＝－10n＋nn－12