2020版高考数学大二轮复习 4.1 等差数列与等比数列学案 文

-1-第1讲等差数列与等比数列考点1等差数列、等比数列的基本运算1．通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2．求和公式等差数列：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d；等比数列：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．[例1](1)[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n(2)[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.【解析】(1)本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．方法一设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0a1＋4d＝5，解得a1＝－3d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn－12d＝n2－4n.故选A.方法二设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0a1＋4d＝5，解得a1＝－3d＝2，选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝12－2＝－32，排除D.故选A.(2)设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得-2-a1＋2d＝5a1＋6d＝13，解得a1＝1d＝2，所以S10＝10×1＋10×92×2＝100.【答案】(1)A(2)100等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.『对接训练』1．[2019·河北衡水中学摸底]已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S10＝100，则a7的值为()A．11B．12C．13D．14解析：∵{an}的公差为2，S10＝100，∴10a1＋90＝100，∴a1＝1，a7＝13，故选C.答案：C2．[2019·湖南重点高中联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，公差d≠0，a1，a2，a5成等比数列，则S5＝()A．15B．20C．21D．25解析：由已知得a22＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，又d≠0得d＝2，∴S5＝5＋5×42×2＝25，故选D.答案：D考点2等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．-3-[例2][2019·广东广州调研测试]设Sn是数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？【解析】(1)证明：因为a3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3，则an＝2an－1＋1，取n＝2，得a2＝2a1＋1，解得a1＝1.由an＝2an－1＋1(n≥2)，得an＋1＝2(an－1＋1)，即an＋1an－1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1，所以Sn＝21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.于是n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0，所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列.(1)判断一个数列是等差(等比)数列，有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法．(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可．(3)a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.『对接训练』3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值．(2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an.解析：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．所以n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3，n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9，n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.(2)证明：因为Sn＝2an－3n，-4-所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得an＋1＝2an＋3，①把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入①式，得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6，所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝6×2n－1，所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．考点3等差、等比数列的性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，(2)an＝amqn－m；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(q≠－1)[例3](1)[2019·长春市质量监测(一)]各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________；(2)[2019·福建泉州第十六中学月考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S170，S180，则S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的项为________．【解析】(1)通解设数列{an}的公比为q(q0且q≠1)，由题意可得S6＝a11－q61－q＝30①S9＝a11－q91－q＝70②，①÷②得，1－q61－q9＝1＋q31＋q3＋q6＝37，又由q0，得q3＝2，再由S3S6＝a11－q31－qa11－q61－q＝11＋q3＝13，得S3＝13S6＝10.优解由题意可得(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(30－S3)2＝40S3，即S23－100S3＋900＝0，解得S3＝10或S3＝90，又数列{an}的各项均为正数，所以S3S6，S3＝90(舍去)，故S3＝10.(2)∵S170，S180，∴17a90,9(a9＋a10)0，∴a90，a100且公差d0，∴1≤n≤9时，Snan0,10≤n≤15时，Snan0，又1≤n≤8时，0an＋1an，Sn＋1Sn0，-5-∴S9a9最大．【答案】(1)10(2)S9a9-6-等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝na1＋an2的综合应用.『对接训练』4．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝()A．11B．12C．13D．14解析：设数列{an}的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝S偶S奇＝13.又a1·(a1q)(a1q2)＝64.所以a31q3＝64，故a1＝12.答案：B5．[2019·内蒙古呼和浩特一中摸底]已知数列{an}是递减的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝()A．8－12n－3B．16－12n－4C．2n－3－8D．16－2n－3解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝8，∴a1·a4＝8，又a1＋a4＝9且数列{an}是递减数列，∴a1＝8，a4＝1，∴q3＝18，∴q＝12，∴Sn＝81－12n1－12＝16－12n－4，故选B.答案：B6．[2019·江苏常州月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝8，则S9＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝8，-7-∴3a1＋12d＝8，∴a1＋4d＝a5＝83，∴S9＝9a5＝24.答案：24考点4数列与新定义相交汇问题[例4][2019·山西太原期末]对于数列{an}，定义Hn＝a1＋2a2＋…＋2n－1ann为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn最小值为()A．－70B．－72C．－64D．－68【解析】∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝a1＋2a2＋…＋2n－1ann＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，由an－20＝2n－18≤0，an＋1－20＝2n－16≥0得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72，故选B.【答案】B数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”．(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识．(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论.『对接训练』7．在数列{an}中，n∈N*，若an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是________．解析：①k＝0时，分子an＋2－an＋1＝0，数列{an}可为常数数列，则an＋1－an＝0，但分母不可为0，推出矛盾，∴k不可能为0，①正确；同理②中d＝0，③中q＝1时分母都为0，不成立，∴②③错误；-8-④例如数列0,1,0,1，……为等差比数列，④正确．答案：①④课时作业9等差数列与等比数列1．[2019·河南龙泉中学模拟]已知数列{an}满足an＋1－an＝3(n∈N*)，若a5－a3a2＝1，则a4的值为()A．2B．4C．12D．16解析：因为an＋1－an＝3(n∈N*)，所以数列{an}是公差为3的等差数列，a5－a3a2＝6a1＋3＝1，所以a1＝3，所以a4＝3＋3×3＝12，故选C.答案：C2．[2019·山东淄博一中月考]在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则数列{an}的前8项和为()A．50B．70C．120D．100解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a11－a4＝21，∴7d＝21，∴d＝3，又a3＋a7－a10＝－1，∴a1－d＝－1，∴a1＝2，∴数列{an}的前8项和为100，故选D.答案：D3．[2019·陕西西安远东中学期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19解析：设数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4＝9，∴a1＝19，故选C.答案：C4．[2019·安徽合肥联考]已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，