（新课标）2020版高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第3讲 平面向量与算法学案 文

-1-第3讲平面向量与算法平面向量的线性运算[考法全练]1．(一题多解)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝()A.25B．－25C.35D．－35解析：选B.法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc，所以2－λ＝2μ4＋λ＝3μ，解得μ＝65λ＝－25.法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb与c共线可知2－λ2＝4＋λ3，解得λ＝－25.2．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b解析：选A.通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.-2-优解一：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.优解二：由BD→＝13BC→，得AD→－AB→＝13(AC→－AB→)，所以AD→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.3．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB→＝2AE→，AD→＝3AF→，AM→＝λAB→－μAC→(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A．－12B．1C.32D．－3解析：选A.AM→＝λAB→－μAC→＝λAB→－μ(AB→＋AD→)＝(λ－μ)AB→－μAD→＝2(λ－μ)AE→－3μAF→，因为E、M、F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以52μ－λ＝－12，故选A.4．已知P为△ABC所在平面内一点，AB→＋PB→＋PC→＝0，|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，则△ABC的面积等于()A.3B．23C．33D．43解析：选B.由|PB→|＝|PC→|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又AB→＋PB→＋PC→＝0，所以AB→＝－(PB→＋PC→)＝－2PD→，所以PD＝12AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|PB→|＝2，|PD→|＝1可得|BD→|＝3，则|BC→|＝23，所以△ABC的面积为12×2×23＝23，故选B.平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．-3-平面向量的数量积[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC→＝AC→－AB→＝(1，t－3)，所以|BC→|＝1＋（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1，0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B.设a与b的夹角为α，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，所以cosα＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．已知a＝(1，2)，b＝(－1，1)，c＝2a－b，则|c|＝()A.26B．32C.10D.6解析：选B.法一：因为c＝2a－b＝2(1，2)－(－1，1)＝(3，3)，所以|c|＝32＋32＝32.故选B.法二：由题设知|a|2＝1＋4＝5，|b|2＝1＋1＝2，a·b＝1×(－1)＋2×1＝1，所以|c|2＝|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×5＋2－4×1＝18，所以|c|＝32.故选B.4．(一题多解)(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD→＝32AB→，则CD→·CB→＝()A．－18B．－63C．18D．63-4-解析：选C.通解：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA→·CB→＝0.CD→·CB→＝(CA→＋AD→)·CB→＝CA→·CB→＋32AB→·CB→＝32(CB→－CA→)·CB→＝32CB→2＝18，故选C.优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD→＝32AB→，所以D＝(－1，33)，则CD→·CB→＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.优解二：因为∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，所以CB＝23，所以AB→在CB→上的投影为23，又AD→＝32AB→，所以AD→在CB→上的投影为32×23＝33，则CD→在CB→上的投影为33，所以CD→·CB→＝|CB→|·|CD→|cosCD→，CB→＝23×33＝18，故选C.5．(一题多解)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，则a在b方向上的投影等于________．解析：法一：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，所以(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，所以a·b＝－1，所以a在b方向上的投影为a·b|b|＝－12.法二：记a＝OA→，a＋b＝OB→，则b＝AB→，由题意知|OA→|＝1，|OB→|＝3，|AB→|＝2，则|OA→|2＋|OB→|2＝|AB→|2，△AOB是直角三角形，且∠OAB＝π3，所以a在b方向上的投影为|OA→|cosπ－π3＝1×－12＝－12.答案：－12求向量a，b的数量积a·b有三种方法：①若两向量的夹角直接可得，则根据定义即可-5-求得数量积；②根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解；③若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．[注意]求解两个非零向量的夹角问题时，要注意两向量夹角的范围是[0，π]，不是(0，π)，其中θ＝0表示两向量同向共线，θ＝π表示两向量反向共线．程序框图[考法全练]1．(2019·济南市模拟考试)执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2019，则输出的y值为()A.18B.14C.12D．1解析：选C.运行程序，输入的x＝2019，则x＝2019－4＝2015，满足x≥0，2015－4＝2011，满足x≥0；…；x＝3，满足x≥0；x＝－1，不满足x≥0.故输出y＝2－1＝12.2．(2019·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.-6-3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A解析：选A.法一：依次检验四个选项．第一次循环：A.A＝12＋12；B.A＝2＋2；C.A＝12；D.A＝2.分析知只有A符合题意．故选A.法二：分析知，12＋12＋12与12＋12一致的结构为12＋A，故可设A＝12＋A，检验知符合题意，故选A.4．(2019·武汉部分学校调研)执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为6，则输出的S的值为()A．21B．23-7-C．37D．44解析：选C.第1次循环得到t＝1，S＝1，i＝2；第2次循环得到t＝4，S＝5，i＝3；第3次循环得到t＝3，S＝8，i＝4；第4次循环得到t＝8，S＝16，i＝5；第5次循环得到t＝5，S＝21，i＝6；第6次循环得到t＝16，S＝37，i＝7，76，跳出循环．故S＝37，选C.程序框图的解题策略(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体．(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化．(3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．[注意]要注意各个框的顺序，在给出程序框图，求解输出结果的试题中要按照程序框图规定的运算顺序逐次计算，直到达到输出条件．一、选择题1．(一题多解)(2019·贵州省适应性考试)设向量a＝(1，－2)，b＝(0，1)，向量λa＋b与向量a＋3b垂直，则实数λ＝()A.12B．1C．－1D．－12解析：选B.法一：因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，所以λa＋b＝(λ，－2λ＋1)，a＋3b＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1，故选B.法二：因为向量λa＋b与向量a＋3b垂直，所以(λa＋b)·(a＋3b)＝0，所以λ|a|2＋(3λ＋1)a·b＋3|b|2＝0，因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，所以|a|2＝5，|b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1，故选B.2．(2019·湖南省湘东六校联考)已知向量AB→＝(1，2)，AC→＝(－1，2)，则△ABC的面积为()A.35B．4C.32D．2解析：选D.由题意，得|AB→|＝5，|AC→|＝5.设向量AB→，AC→的夹角为θ，则cosθ＝-8-AB→·AC→|AB→||AC→|的最大值为6.答案：6