（新课标）2020版高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第2讲 集合、复数及常用逻辑用语

-1-第2讲集合、复数及常用逻辑用语集合1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝()A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}解析：选C.依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩∁UA＝{6，7}．故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋60}，B＝{x|x－10}，则A∩B＝()A．(－∞，1)B．(－2，1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋60}＝{x|x3或x2}，B＝{x|x－10}＝{x|x1}，所以A∩B＝{x|x1}，故选A.3．(2019·江西省五校协作体试题)已知集合A＝{x|lg(x－2)1}，集合B＝{x|x2－2x－30}，则A∪B＝()A．(2，12)B．(－1，3)C．(－1，12)D．(2，3)解析：选C.由lg(x－2)1＝lg10，得0x－210，所以2x12，集合A＝{x|2x12}，由x2－2x－30得－1x3，所以集合B＝{x|－1x3}，所以A∪B＝{x|－1x12}，故选C.4．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为3×3＝9，故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.5．已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|x2－3x＋20}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()-2-A．a1B．a≤1C．a2D．a≥2解析：选D.集合B＝{x|x2－3x＋20}＝{x|1x2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.故选D.集合运算的4个技巧(1)先“简”后“算”．进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．(2)遵“规”守“矩”．定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．(3)活“性”减“量”．灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U(M∩N)＝(∁UM)∪(∁UN)，∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)等简化运算，减少运算量．(4)借“形”助“数”．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．复数[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析：选D.z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2＋2i2＝1＋i.2．(2019·江西七校第一次联考)已知复数z＝i20181－2i，则复数z的虚部为()A．－25B．－25iC.15iD.15解析：选A.因为z＝i20181－2i＝i4×504＋21－2i＝－11－2i＝－1＋2i（1－2i）（1＋2i）＝－15－25i，所以虚部为－25，故选A.3．已知复数z＝2－1＋3i，则z·z＝()-3-A．－1B．1C．－12D.12解析：选B.z＝2－1＋3i＝－12－32i，z＝－12＋32i，所以z·z＝1，故选B.4．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C.通解：因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi(x，y∈R)．因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.优解一：因为|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C.优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1，1)不在选项A，D的圆上，所以排除A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0，2)不在选项B的圆上，所以排除B.故选C.复数运算中的4个常见结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N.(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N.常用逻辑用语[考法全练]1．(2019·唐山市摸底考试)命题“∀x0，lnx≥1－1x”的否定是()A．∃x0≤0，lnx0≥1－1x0B．∃x0≤0，lnx01－1x0C．∃x00，lnx0≥1－1x0-4-D．∃x00，lnx01－1x0解析：选D.若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，綈p(x0)．所以“∀x0，lnx≥1－1x”的否定是“∃x00，lnx01－1x0”，故选D.2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若xy，则x|y|”的逆命题B．命题“若x1，则x21”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：选A.对于A，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|＝y，y≥0，－y，y0，必有xy.对于B，其否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题，如x＝－5，x2＝251.对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题．对于D，若x20，则x0或x0，不一定有x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.3．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x0”是“|x－1|1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由“x2－5x0”可得“0x5”；由“|x－1|1”可得“0x2”．由“0x5”不能推出“0x2”，但由“0x2”可以推出“0x5”，所以“x2－5x0”是“|x－1|1”的必要而不充分条件．故选B.4．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，所以2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.-5-5．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧綈qC．綈p∧qD．綈p∧綈q解析：选B.因为∀x＞0，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以命题p为真命题；当b＜a＜0时，a2＜b2，故命题q为假命题，由真值表可知B正确，故选B.(1)含逻辑联结词的命题真假的等价关系①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．②p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．③p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．⑤綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(2)充分、必要条件的3种判断方法利用定义判断直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假从集合的角度判断若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件利用等价转化法判断条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假一、选择题1．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为()A．若x≠1，则x≠1或x≠－1B．若x＝1，则x＝1或x＝－1C．若x≠1，则x≠1且x≠－1D．若x＝1，则x＝1且x＝－1解析：选C.命题：“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”，即“若x≠1，则x≠1且x≠－1”．2．(2019·蓉城名校第一次联考)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则y＋2x＋1的值为()-6-A.32B.23C．1D.13解析：选A.z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi⇒x＝1，y＝1，所以y＋2x＋1＝32.故选A.3．(一题多解)(2019·唐山市摸底考试)设z＝i（1－2i）2－i，则|z|＝()A.5B．2C.415D．1解析：选D.通解：因为z＝i（1－2i）2－i＝2＋i2－i＝（2＋i）25＝35＋45i，所以|z|＝352＋452＝1，故选D.优解：|z|＝|i（1－2i）2－i|＝|i（1－2i）||2－i|＝|i||1－2i|5＝55＝1，故选D.4．(2019·郑州市第二次质量预测)已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，则A∩(∁UB)＝()A．(－1，0)B．[0，1)C．(0，1)D．(－1，0]解析：选D.A＝{x|1－x20}＝(－1，1)，B＝{y|y0}，所以∁UB＝{y|y≤0}，所以A∩(∁UB)＝(－1，0]，故选D.5．(2019·重庆市学业质量调研)已知p：(2－x)(x＋1)0；q：0≤x≤1，则p成立是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若p成立，则x满足－1x2，则p成立是q成立的必要不充分条件，故选A.6．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(3，1)，则z2z1等于()A．1－2iB．1＋2iC.15－25iD.32－12i-7-解析：选B.因为z1＝1－i，z2＝3＋i，所以z2z1＝3＋i1－i＝1＋2i.7．设i为虚数单位，若复数z＝a1－2i＋|i|(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5B．－53C．－1D．－13解析：选B.z＝a1－2i＋|i|＝a（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＋1＝a5＋1＋2a5i，因为a5＋1＝－2a5，所以a＝－53.8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1)B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1]D．[0，1]解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.9．已知i为虚数单位，若复数z满足(1＋i)z＝2－i，则z在复平面内的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.z＝2－i1＋i＝（2－i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝12－32i，则z＝12＋32i，即z在复平面内的对应点为12，32，位于第一象限．10．已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(4，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，4]解析：选C.集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R