（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考热点追踪（五）学案 文 苏教版

-1-高考热点追踪(五)圆锥曲线交汇大观交融性试题是高考数学试题中“抢眼”的一种题型，它多姿多彩的格调、清新优美的风采，构成了高考试题中一道亮丽的风景．圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒介，下面例析圆锥曲线与其他知识的交汇．一、圆锥曲线与导数交汇(2019·扬州期末)已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【解】(1)函数y＝x2＋2x的导数y′＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，x21＋2x1)的切线方程是：y－(x21＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x21，①函数y＝－x2＋a的导数y′＝－2x,曲线C2在点Q(x2，－x22＋a)的切线方程是y－(－x22＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x22＋a，②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以x1＋1＝－x2－x21＝x22＋a，消去x2得方程2x21＋2x1＋1＋a＝0，若判别式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a＝－12时解得x1＝－12，此时点P与Q重合．即当a＝－12时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y＝x－14．(2)证明：由(1)可知．当a－12时C1和C2有两条公切线，设一条公切线上切点为：P(x1，y1)，Q(x2，y2)．其中P在C1上，Q在C2上，则有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x21＋2x1＋(－x22＋a)＝x21＋2x1－(－x1－1)2＋a＝－1＋a，线段PQ的中点为－12，－1＋a2．同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是－12，－1＋a2．-2-所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．[名师点评]解析几何与导数交汇的试题别致新颖，是高考的冷点．求解时要充分利用导数、解析几何的概念、性质，最好结合图形来求解．二、圆锥曲线与数列交汇(2019·江苏省高考名校联考(四))在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝32，一条准线方程为x＝433．(1)求椭圆C的方程；(2)若F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D为椭圆C上的动点，求DF1→·DF2→的取值范围；(3)若不过原点O的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．【解】(1)由题意得e＝ca＝32a2c＝433，解得a＝2c＝3，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，故椭圆C的方程为x24＋y2＝1．(2)由(1)得F1(－3，0)，F2(3，0)，设点D(x，y)，则DF1→·DF2→＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－3．又x24＋y2＝1，x∈[－2，2]，所以DF1→·DF2→＝3x24－2∈[－2，1]，所以DF1→·DF2→的取值范围是[－2，1]．(3)由题意得直线l不过原点且斜率存在，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得y＝kx＋mx24＋y2＝1，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，-3-所以Δ＝64k2m2－4（1＋4k2）（4m2－4）＞0x1＋x2＝－8km1＋4k2x1x2＝4m2－41＋4k2，所以4k2＋1＞m2．所以kOP·kOQ＝y1x1·y2x2＝（kx1＋m）（kx2＋m）x1x2＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2x1x2＝k2＋km（x1＋x2）＋m2x1x2＝k2PQ＝k2，所以km·8km1＋4k2＝m2，又m≠0，所以k2＝14，所以k＝±12．[名师点评]本题考查了解析几何与数列的综合应用，解题时注意转化化归思想的应用．三、圆锥曲线与三角、向量交汇在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．【解析】设P(x，y)，则PA→·PB→＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x2＋y2＝50上，由y＝2x＋5，x2＋y2＝50，解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－52≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－52，1]．【答案】[－52，1](2019·南京模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝22，右准线为l，M，N是l上的两个动点，F1M→·F2N→＝0．(1)若|F1M→|＝|F2N→|＝25，求a，b的值；(2)证明：当MN取最小值时，F1M→＋F2N→与F1F2→共线．【解】由a2－b2＝c2与e＝ca＝22，得a2＝2b2，a2＝2c2，F1－22a，0，F222a，0，l的方程为x＝2a，-4-设M(2a，y1)，N(2a，y2)，则F1M→＝322a，y1，F2N→＝22a，y2，由F1M→·F2N→＝0得y1y2＝－32a20，①(1)由|F1M→|＝|F2N→|＝25，得322a2＋y21＝25，②22a2＋y22＝25，③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4，故a＝2，b＝22＝2．(2)证明：MN2＝(y1－y2)2＝y21＋y22－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2．由图可得当且仅当y1＝－y2＝62a时，MN取最小值6a．此时，F1M→＋F2N→＝322a，y1＋22a，y2＝(22a，y1＋y2)＝(22a，0)＝2F1F2→，故F1M→＋F2N→与F1F2→共线．[名师点评]纵观近几年的江苏高考数学，发现解析几何与向量的交汇是解析题的重要形式，大部分的条件给出都是以向量形式出现，甚至题目的问题也以向量形式描述圆锥曲线的几何特征．因此理解向量条件所表达的几何意义，用好向量的基本运算是解决此类问题的关键．直线与圆的位置关系判断方法浅析一、几何法圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当dr时，直线与圆相离，当d＝r时，直线与圆相切，当dr时，直线与圆相交．(2019·苏州期末)点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a0)内不同于圆心的一点，试判断直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系．【解】因为点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a0)内不为圆心的一点，所以0x20＋y20a2，则圆心到该直线的距离d＝a2x20＋y20a，所以该直线与圆相离．[名师点评]通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置-5-关系是判断直线与圆位置关系最常用的方法，同学们要切实掌握．二、代数法直线l与圆C的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆相离，若方程组仅有一组解，则直线与圆相切，若方程组有两组不同的解，则直线与圆相交．求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．【解】直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标就是方程组4x＋3y＝40x2＋y2＝100的解．解这个方程组，得x1＝10，y1＝0，或x2＝145，y2＝485．所以公共点坐标为(10，0)，145，485．直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交．[名师点评]判断直线与圆的位置关系，一般不用解方程组的方法，但要理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系．三、特殊点法(2019·南通市模拟)对于任意实数k，判断直线(3k＋2)x－ky－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系．【解】直线(3k＋2)x－ky－2＝0可化为k(3x－y)＋2(x－1)＝0，所以直线(3k＋2)x－ky－2＝0恒过定点(1，3)，而(1，3)在圆上，故直线(3k＋2)x－ky－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0相交或相切．[名师点评]若能知道直线过一个定点，通过定点与圆的位置关系进而确定直线与圆的位置关系，这种方法避免了运算，具有一定的灵巧性．四、数形结合法若直线y＝x＋b与x＝4－y2恰有一个公共点，求实数b的取值范围．【解】由题意x＝4－y2可化为x2＋y2＝4(x≥0)，表示一个右半圆，如图所示．直线l1的方程为：y＝x＋2，直线l2的方程为：y＝x－2，因为直线l3与半圆相切，-6-所以|b|2＝2，解得|b|＝22，所以直线l3的方程为：y＝x－22，由图可知位于l1和l2之间的直线都与半圆只有一个交点，且l3与半圆相切，所以实数b的取值范围为－2b≤2或b＝－22．[名师点评]在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”，当几何法失效时，代数法又比较繁杂时，同学们不妨尝试一下数形结合的思想方法．1．(2019·苏州期末)双曲线x2－y24＝1的渐近线方程为________．[解析]令x2－y24＝0，得y＝±2x，即为双曲线x2－y24＝1的渐近线方程．[答案]y＝±2x2．(2019·南京、盐城模拟)椭圆x24＋y2m＝1的一条准线方程为y＝m，则m＝________．[解析]焦点在y轴上，mm－4＝m，m＝5．[答案]53．(2019·太原调研)直线x－2y＋2＝0过椭圆x2a2＋y2b2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．[解析]直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2．直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0，1)，即为椭圆的顶点，故b＝1．故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为x25＋y2＝1．[答案]x25＋y2＝14．已知双曲线C：x2a2－4y2＝1(a＞0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．[解析]x2a2－4y2＝1的右顶点坐标为(a，0)，一条渐近线为x－2ay＝0．由点到直线的距离公式得d＝|a|1＋4a2＝34，解得a＝32或a＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x23－4y2＝1．因为c＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p-7-＝2，x＝－1是抛物线的准线，因为点M到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，设抛物线的焦点为F，则d1＋1＝|MF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|MF|＋d2－1，焦点到直线l的距离d3＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|MF|＋d2≥d3＝522，所以d1＋d2＝|MF|＋d2－1≥522－1．[答案]522－15．(2019·南京、盐城高三模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．[解析]连结OA，OP，在直角三角形OAP中，OP＝2OA＝2．又OP∈[OM－1，OM＋1]，即1≤OM≤3，所以1≤a2＋(a－4)2≤9，化简得2a2－8a＋7≤02a2－8a＋15≥0，解得2－22≤a≤2＋22．[答案][2－22，2＋22]6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线Γ：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线为l1，l2，直线l：xc＋yb＝1分别