2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步章末复习课讲义 苏教版必修2

-1-第1章立体几何初步空间中的平行关系【例1】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.思路探究：(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.[证明](1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OG12B1C1，BE12B1C1，-2-∴OGBE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.[证明]如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为PA的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，所以OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，-3-BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.空间中的垂直关系【例2】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.思路探究：取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥平面ECA，(3)证DM⊥平面ECA.[证明](1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN12EC，∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，bα，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法-4-①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．2．如图，四棱锥P­ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.[证明](1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD⊥平面PAD.空间几何体的体积及表面积【例3】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体N­BCM的体积．思路探究：(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．-5-[解](1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得，AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S△BCM＝12×4×5＝25.所以四面体N­BCM的体积VN­BCM＝13×S△BCM×PA2＝453.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．3．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；-6-(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解](1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，因为AP∩PD＝P，AP平面PAD，PD平面PAD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝22x.故四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝13AB·AD·PE＝13x3.由题设得13x3＝83，故x＝2.从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22.可得四棱锥P­ABCD的侧面积为12PA·PD＋12PA·AB＋12PD·DC＋12BC2sin60°＝6＋23.平面图形的翻折问题【例4】如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝12AP，D是AP的中点，E，F分别为PD，PC的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P­ABCD.(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.思路探究：(1)转化为证EF⊥平面PAD；(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.[证明](1)在直角梯形ABCP中，∵BC∥AP，BC＝12AP，D为AP的中点．-7-∴BCAD，又AB⊥AP，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥P­ABCD中，∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)法一：∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP.∵GF平面PAB，BP平面PAB，∴GF∥平面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB.∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二：取AD中点H(略)，连结GH，HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形．又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四点E，F，G，H共面．∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.∵PA平面EFGH，EH平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．4．如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．-8-(1)(2)(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求三棱锥F­BCE的体积．[解](1)证明：法一：取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝12DF，∴EGCD.又∵ABCD，∴EGAB，∴四边形ABEG为平行四边形，∴BE∥AG.∵BE平面ADF，AG平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二：由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC平面ADF，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE平面BCE，∴BE∥平面ADF.(2)法一：∵VF­BCE＝VB­CEF，由图(1)可知BC⊥CD.∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝12CE×DC＝12，∴VF­BCE＝VB­CEF＝13×BC×S△CEF＝16.法二：由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，∴VF­BCE＝13×CD×S△BCE＝16.-9-法三：过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝DC2＋DF2＝5，S△BCF＝12BC×CF＝52，在△CEF中，由等面积法可得EH＝15，∴VF­BCE＝VE­BCF＝13×EH×S△BCF＝16.