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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习课讲义 苏教版选修2-1
-1-第3章空间向量与立体几何空间向量的基本概念及运算【例1】如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论:①SA→+SB→+SC→+SD→=0;②SA→+SB→-SC→-SD→=0;③SA→-SB→+SC→-SD→=0;④SA→·SB→=SC→·SD→;⑤SA→·SC→=0.其中正确结论的序号是________.[解析]容易推出SA→-SB→+SC→-SD→=BA→+DC→=0,所以③正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以SA→·SB→=2·2·cos∠ASB,SC→·SD→=2·2·cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是SA→·SB→=SC→·SD→,因此④正确,其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④.[答案]③④-2-1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算,选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出目标向量,这是用向量法解决立体几何问题的基本要求,解题时可结合已知和所求,根据图形,利用向量运算法则表示所需向量.2.空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉及其变式cos〈a,b〉=a·b|a|·|b|是两个重要公式.(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式,如a2=|a|2,a在b上的投影a·b|b|=|a|·cosθ等.1.如图,已知ABCDA′B′C′D′是平行六面体.的34设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上分点,设MN→=αAB→+βAD→+γAA′→,则α+β+γ=________.32[连接BD,则M为BD的中点,MN→=MB→+BN→=12DB→+34BC′→=12(DA→+AB→)+34(BC→+CC′→)=12(-AD→+AB→)+34(AD→+AA′→)=12AB→+14AD→+34AA′→.∴α=12,β=14,γ=34.∴α+β+γ=32.]空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x=()A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)(2)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),a∥b,b⊥c.①求向量a,b,c;②求a+c与b+c所成角的余弦值.(1)B[由b=12x-2a得x=4a+2b,又4a+2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(0,6,-20),所以x=(0,6,-20).]-3-(2)[解]①∵向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c,∴x1=1y=2-23+y-2z=0,解得x=-1,y=-1,z=1,∴向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1).②∵a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1),∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5,|a+c|=22+22+32=17,|b+c|=42+02+-12=17,∴a+c与b+c所成角的余弦值为a+c·b+c|a+c||b+c|=517.熟记空间向量的坐标运算公式设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),1.加减运算:a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2).2.数量积运算:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.3.向量夹角:cos〈a,b〉=x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+z21x22+y22+z22.4.向量长度:设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则|M1M2→|=x1-x22+y1-y22+z1-z22.提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形C[∵AB→=(3,4,-8),AC→=(5,1,-7),BC→=(2,-3,1),∴|AB→|=32+42+-82=89,|AC→|=52+12+-72=75,|BC→|=22+-32+1=14,∴|AC→|2+|BC→|2=|AB→|2,∴△ABC一定为直角三角形.]利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在四棱锥PABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.-4-(1)求证:BM∥平面PAD;(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定N的位置;若不存在,说明理由.[思路探究](1)证明向量BM→垂直于平面PAD的一个法向量即可;(2)假设存在点N,设出其坐标,利用MN→⊥BD→,MN→⊥PB→,列方程求其坐标即可.[解]以A为原点,以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),(1)证明:∵BM→=(0,1,1),平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),∴BM→·n=0,即BM→⊥n,又BM⊄平面PAD,∴BM∥平面PAD.(2)BD→=(-1,2,0),PB→=(1,0,-2),假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.设N(0,y,z),则MN→=(-1,y-1,z-1),从而MN⊥BD,MN⊥PB,∴MN→·BD→=0,MN→·PB→=0,即1+2y-1=0,-1-2z-1=0,∴y=12,z=12,∴N0,12,12,∴在平面PAD内存在一点N0,12,12,使MN⊥平面PBD.利用空间向量证明空间中的位置关系1.线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2.线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.3.线面平行:(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;-5-(3)利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.4.线面垂直:(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行;(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.5.面面平行:(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);(2)转化为线面平行、线线平行问题.6.面面垂直:(1)证明两个平面的法向量互相垂直;(2)转化为线面垂直、线线垂直问题.3.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N分别在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.(1)求证:A1C⊥平面AMN.(2)当AB=2,AD=2,A1A=3时,问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN,若存在,试确定P的位置.[解](1)证明:因为CB⊥平面AA1B1B,AM⊂平面AA1B1B,所以CB⊥AM,又因为AM⊥A1B,A1B∩CB=B,所以AM⊥平面A1BC,所以A1C⊥AM,同理可证A1C⊥AN,又AM∩AN=A,所以A1C⊥平面AMN.(2)以C为原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,因为AB=2,AD=2,A1A=3,所以C(0,0,0),A1(2,2,3),C1(0,0,3),CA1→=(2,2,3),由(1)知CA1⊥平面AMN,故平面AMN的一个法向量为CA1→=(2,2,3).设线段AA1上存在一点P(2,2,t),使得C1P∥平面AMN,则C1P→=(2,2,t-3),因为C1P∥平面AMN,所以C1P→·CA1→=4+4+3t-9=0,-6-解得t=13.所以P2,2,13,所以线段AA1上存在一点P2,2,13,使得C1P∥平面AMN.利用空间向量求空间角【例4】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=2,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=3.(1)(2)(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.[思路探究](1)利用勾股定理可证A′O⊥OD,A′O⊥OE,从而证得A′O⊥平面BCDE;(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角.[解](1)证明:由题意,得OC=3,AC=32,AD=22.如图,连接OD,OE,在△OCD中,由余弦定理,得OD=OC2+CD2-2OC·CDcos45°=5.由翻折不变性,知A′D=22,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE.又因为OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)如图,过点O作OH⊥CD交CD的延长线于点H,连接A′H.因为A′O⊥平面BCDE,OH⊥CD,所以A′H⊥CD.所以∠A′HO为二面角A′CDB的平面角.结合图(1)可知,H为AC的中点,故OH=322,从而A′H=OH2+A′O2=302.-7-所以cos∠A′HO=OHA′H=155.所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为155.用向量法求空间角的注意点1.异面直线所成角:两异面直线所成角的范围为0°θ≤90°,需找到两异面直线的方向向量,借助方向向量所成角求解.2.直线与平面所成的角:要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n,a〉,易知θ=〈n,a〉-π2或者π2-〈n,a〉.3.二面角:如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量n1与n2,则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补,所以首先应判断二面角是锐角还是钝角.4.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC.(2)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC,求二面角FBCA的余弦值.[解](1)证明:设CF的中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为点G,I分别是CE,CF的中点,所以GI∥EF.又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H,I分别是FB,CF的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,BC∩OB=B,-8-所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′,则OO′⊥平面ABC.又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得B(0,23,0),C(-23,0,0).过点F作FM⊥OB于点M,所以FM=FB2-BM2=3,可得F(0,3,3).故BC→=(-23,-23,0),BF→=(0,-3,3).设m=(x,y,z)是平面BCF的法向量.由m·BC→=0,m·BF→=0可得-23x-23y=0,-3y+3z=0.可得平面BCF的一个法向量m=-1,1,33.因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),所以cos〈m,n〉=m·n|m|·|n|=77,所以二面角FBCA的余弦值为77.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习课讲义 苏教版选修2-1
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