2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习课讲义 苏教版选修2-1

-1-第3章空间向量与立体几何空间向量的基本概念及运算【例1】如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→·SB→＝SC→·SD→；⑤SA→·SC→＝0.其中正确结论的序号是________．[解析]容易推出SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA→·SB→＝2·2·cos∠ASB，SC→·SD→＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA→·SB→＝SC→·SD→，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案]③④-2-1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影a·b|b|＝|a|·cosθ等．1.如图，已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体．的34设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上分点，设MN→＝αAB→＋βAD→＋γAA′→，则α＋β＋γ＝________.32[连接BD，则M为BD的中点，MN→＝MB→＋BN→＝12DB→＋34BC′→＝12(DA→＋AB→)＋34(BC→＋CC′→)＝12(－AD→＋AB→)＋34(AD→＋AA′→)＝12AB→＋14AD→＋34AA′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x＝()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．(1)B[由b＝12x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20)．]-3-(2)[解]①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴x1＝1y＝2－23＋y－2z＝0，解得x＝－1，y＝－1，z＝1，∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝22＋22＋32＝17，|b＋c|＝42＋02＋－12＝17，∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为a＋c·b＋c|a＋c||b＋c|＝517.熟记空间向量的坐标运算公式设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，1．加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．2．数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.3．向量夹角：cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|M1M2→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[∵AB→＝(3,4，－8)，AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，∴|AB→|＝32＋42＋－82＝89，|AC→|＝52＋12＋－72＝75，|BC→|＝22＋－32＋1＝14，∴|AC→|2＋|BC→|2＝|AB→|2，∴△ABC一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．-4-(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．[思路探究](1)证明向量BM→垂直于平面PAD的一个法向量即可；(2)假设存在点N，设出其坐标，利用MN→⊥BD→，MN→⊥PB→，列方程求其坐标即可．[解]以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，(1)证明：∵BM→＝(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，∴BM→·n＝0，即BM→⊥n，又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)BD→＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则MN→＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴MN→·BD→＝0，MN→·PB→＝0，即1＋2y－1＝0，－1－2z－1＝0，∴y＝12，z＝12，∴N0，12，12，∴在平面PAD内存在一点N0，12，12，使MN⊥平面PBD.利用空间向量证明空间中的位置关系1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．3．线面平行：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；-5-(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．4．线面垂直：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行；(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；(2)转化为线面平行、线线平行问题．6．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)转化为线面垂直、线线垂直问题．3．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D.(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置．[解](1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB＝2，AD＝2，A1A＝3，所以C(0,0,0)，A1(2,2,3)，C1(0,0,3)，CA1→＝(2,2,3)，由(1)知CA1⊥平面AMN，故平面AMN的一个法向量为CA1→＝(2,2,3)．设线段AA1上存在一点P(2,2，t)，使得C1P∥平面AMN，则C1P→＝(2,2，t－3)，因为C1P∥平面AMN，所以C1P→·CA1→＝4＋4＋3t－9＝0，-6-解得t＝13.所以P2，2，13，所以线段AA1上存在一点P2，2，13，使得C1P∥平面AMN.利用空间向量求空间角【例4】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝3.(1)(2)(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．[思路探究](1)利用勾股定理可证A′O⊥OD，A′O⊥OE，从而证得A′O⊥平面BCDE；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．[解](1)证明：由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝22.如图，连接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理，得OD＝OC2＋CD2－2OC·CDcos45°＝5.由翻折不变性，知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE.又因为OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.(2)如图，过点O作OH⊥CD交CD的延长线于点H，连接A′H.因为A′O⊥平面BCDE，OH⊥CD，所以A′H⊥CD.所以∠A′HO为二面角A′­CD­B的平面角．结合图(1)可知，H为AC的中点，故OH＝322，从而A′H＝OH2＋A′O2＝302.-7-所以cos∠A′HO＝OHA′H＝155.所以二面角A′­CD­B的平面角的余弦值为155.用向量法求空间角的注意点1．异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．2．直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－π2或者π2－〈n，a〉．3．二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．4．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.(2)已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，求二面角F­BC­A的余弦值．[解](1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，-8-所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)．故BC→＝(－23，－23，0)，BF→＝(0，－3，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由m·BC→＝0，m·BF→＝0可得－23x－23y＝0，－3y＋3z＝0.可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1，33.因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝77，所以二面角F­BC­A的余弦值为77.