2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数学案 北师大版必修1

-1-§1正整数指数函数学习目标核心素养1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)1.通过学习正整数指数函数的概念，提升数学抽象能力．2．通过利用正整数指数函数解决某些实际问题，培养数学运算素养.正整数指数函数的概念阅读教材P61～P63整节有关内容，完成下列问题．(1)一般地，函数y＝ax(a0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.(2)正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．(3)当0a1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数，当a1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．思考：(1)y＝3×2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？(2)比较12，122，123的大小，你有什么发现？[提示](1)不是.2x的系数是3，不是1.(2)12122123，发现：y＝12x，x∈N＋是减函数．1．函数f(x)＝34x(x∈N＋)，则f(2)＝()A.716B．12C.2716D．916-2-D[f(2)＝342＝916.]2．给出下列函数：①y＝πx；②y＝4－x；③y＝(－2)x；④y＝x2，当x∈N＋时，是正整数指数函数的个数为()A．1B．2C．3D．4B[只有③④不是正整数指数函数，故选B.]3．若2x＝64，则x＝________.6[由2x＝64，得2x＝26，∴x＝6.]4．函数y＝2x，x∈{1,2,3,4}的值域是________．{2,4,8,16}[21＝2,22＝4,23＝8,24＝16，故其值域为{2,4,8,16}．]正整数指数函数的定义【例1】(1)下列函数中是正整数指数函数的是()A．y＝10x＋1，(x∈N＋)B．y＝(－2)x，(x∈N＋)C．y＝5·2x，(x∈N＋)D．y＝13x，(x∈N＋)(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是正整数指数函数，则a＝________.(1)D(2)2[(1)A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y＝(－2)x的底数－20，故不是正整数指数函数；C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D中y＝13x符合正整数指数函数的定义．(2)由正整数指数函数定义知a2－3a＋3＝1，a0，a≠1，解得a＝2或1，a0，a≠1，∴a＝2.]1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前面的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．2．要注意正整数指数函数y＝ax(a0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区别．-3-1．正整数指数函数的图像经过点2，169，则此函数的解析式为y＝________，定义域为________．y＝43xx∈N＋[把2，169代入y＝ax(a0，且a≠1)，得169＝a2，所以a＝43，y＝43x，x∈N＋.]正整数指数函数的图像与性质【例2】(1)画出函数y＝13x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．[思路探究]使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．[解](1)函数y＝13x(x∈N＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y＝13x(x∈N＋)是单调递减的．(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．①②1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2．当0a1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数；当a1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．2．(1)函数y＝12x，x∈N＋的图像是()A．一条上升的曲线B．一条下降的曲线-4-C．一系列上升的点D．一系列下降的点(2)函数f(x)＝ax(a0，a≠1，x∈N＋)在[1,3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a＝________.(1)D(2)2[(1)由于x∈N＋且底数为12，所以函数y＝12x，x∈N＋的图像是一系列下降的点．(2)因为f(x)在[1,3]上是增加的，所以a1，所以f(x)min＝f(1)＝a，f(x)max＝f(3)＝a3.所以a3－a＝a，即a(a2－2)＝0.又因为a0，且a≠1，所以a＝2.]正整数指数函数的应用[探究问题]1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？提示：分裂次数(n)12345细胞个数(y)24816322．请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．提示：细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份t(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数．[解](1)1年后该城市的人口总数为x＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，2-5-年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(万人)，那么t年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)t(万人)，t∈N＋.(2)10年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210(万人)．1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．3．日本福岛核电站爆炸中释放的碘­131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式．[解]设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.经过1个周期，剩留量y＝1×50%＝0.51；经过2个周期，剩留量y＝(1×50%)×50%＝0.52；…经过x个周期，剩留量y＝0.5x(x∈N＋)．1．正整数指数函数的特征(1)ax的系数为1；(2)底数a0且a≠1；(3)指数为自变量x；(4)x∈N＋.2．实际生活中与指数函数有关的函数模型(1)指数增长模型：在y＝N(1＋p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间．(2)复利计算公式：y＝a(1＋r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算.1．思考辨析(1)若y＝ax为正整数指数函数，则a为大于零且不等于1的常数，x∈N＋.()(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点．()-6-(3)正整数指数函数的图像与直线x＝T(T为常数且T0)最多只有一个交点．()(4)指数型函数y＝kax(k∈R，a0，且a≠1)，当k＝1且x∈N＋时即为正整数指数函数．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2．经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为________．y＝3x，x∈N＋[设y＝ax，x∈N＋，则a2＝9，又a0且a≠1，则a＝3.所以，y＝3x，x∈N＋.]3．若A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{x|x∈R，且x≤100}，则A∩B＝________.{2,4,8,16,32,64}[由2x≤100，得x≤6，又x∈N＋，则x＝1,2,3,4,5,6，所以，A∩B＝{2,4,8,16,32,64}．]4．画出函数y＝12x，x∈N＋的图像，并说明函数的单调性．[解]函数y＝12x，x∈N＋的图像如图所示．由图像可知，y＝12x，x∈N＋是单调递减的．