2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 2 指数扩充及其运算性质 2.1 指数概

-1-2.1指数概念的扩充2.2指数运算的性质学习目标核心素养1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)1.通过理解分数指数幂与根式的互化，培养数学抽象素养．2．通过运用指数的运算性质进行指数运算，提升数学运算素养.1．分数指数幂阅读教材P64～P66的有关内容，完成下列问题．(1)定义给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的mn次幂，记作b＝amn，它就是分数指数幂．(2)几个结论①正分数指数幂的根式形式：amn＝nam(a0)．②负分数指数幂的意义：a-mn＝(a0，m，n∈N＋，且n1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．思考1：(1)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘吗？(2)在分数指数幂的概念中，我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义，那么负数也有分数指数幂吗？[提示](1)当mn是正整数时，可以；当mn不是正整数时，不可以．-2-(2)有的负数有分数指数幂，例如(－2)23；有的负数没有分数指数幂，例如(－2)32.2．指数运算的性质阅读教材P66～P67的有关内容，完成下列问题．若a0，b0，对任意实数m，n指数运算有以下性质：(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝am_n；(3)(ab)n＝anbn.思考2：[]2612＝＝(－2)3＝－8，上述计算正确吗？若不正确，应如何计算．[提示]不正确.[]2612＝(26)12＝＝23＝8.1．下列等式一定成立的是()A.4a4＝4B．622＝3－2C．a0＝1D．102－15＝2－1D[当a0时，4a4＝|a|，故A错；622＝32，故B错；当a＝0时，a0不存在，故C错；因为2－10，所以102－15＝(2－1)510＝(2－1)12＝2－1]2.3aa化为分数指数幂为________．a12[3aa＝＝a3213＝a22×13＝a12]3．(0.027)-13＝________.-3-103[(0.027)-13＝3103-13＝＝310-1＝103.]4．化简3642的结果为________．16[3642＝384＝3243＝24＝16.]根式与分数指数幂的互化【例1】(1)将各式化为根式：(2)将各式化为分数指数幂：[解]根式与分数指数幂互化的关键与技巧关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a0，m，n∈N＋，且n技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.-4-1．将下列根式化成分数指数幂的形式．[解]分数指数幂的运算【例2】计算下列各式．[解]进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题.2．(1)＝()-5-A．1B．m12C．m13D．m(2)化简(a0，b0)的结果是()A．6aB．－aC．－9aD．9a(1)A(2)C条件求值[探究问题]1．已知a12＋a-12＝3，求a＋a－1的值．提示：法一：2．提示：∵3．在探究1的条件下，求a－a－1的值．提示：a－a－1＝(a12＋a－12)(a12－a－12)＝3×(±5)＝±35.-6-【例3】[解]1．(变条件)若将本例条件“x12＋x-12＝3”改为“x12－x-12＝1”，如何求值？[解]将x12－x-12＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，则2x－1＋x＋3＝23＋3＝13.2．(变结论)在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？[解]将x12＋x-12＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则x＋x－1＝7，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.解决此类问题的思路步骤如下：1．掌握两个公式：(1)(na)n＝a(n∈N＋)；(2)n为奇数且n∈N＋，nan＝a，n为偶数且n∈N-7-＋，nan＝|a|＝aa≥0－aa0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．1．思考辨析(1)223表示23个2相乘．()(2)amn＝man(a0，m，n∈N＋，且n1)．()(3)nan＝(na)n.()[答案](1)×(2)×(3)×922[解]