2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

-1-§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标核心素养1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)1.通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养.2.利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．(1)三种函数的增长趋势当a1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x0，n1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x1时，n越大，其函数值的增长就越快．思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数(2)三种函数的增长对比对数函数y＝logax(a1)增长最慢，幂函数y＝xn(n0)，指数函数y＝ax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有axxnlogax.思考2：在区间(0，＋∞)上，当a1，n0时，是否总有logaxxnan成立？[提示]不是，但总存在x0，使得当a1，n0，xx0时，logaxxnax成立．1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝5xD．y＝10xD[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快．]2．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是()-2-A．2xx12lgxB．2xlgxx12C．x122xlgxD．x12lgx2x[答案]A3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．[答案]对数4．当x4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．[答案]acb指数、对数、幂函数增长趋势的比较【例1】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2016)，g(2016)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)．∴1x12,9x210.∴x18x22016.从图像上知，当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2016)g(2016)g(8)f(8)．-3-1．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同2.指数、幂、对数比较大小(1)常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．1.函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异．(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).建立函数模型解决实际问题【例2】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；-4-方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[思路探究]首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．[解]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.-5-2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)[解]设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a0，因此，乙方案能获得更多的木材.选择函数模型[探究问题]1．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？提示：由题中图像可知，该函数模型为指数模型．2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：-6-关于x呈指数函数变化的变量是什么？提示：由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y2.【例3】20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)，或g(x)＝abx＋c(a，b，c为常数且b0，b≠1)．(1)根据题目中的数据，求f(x)，g(x)的解析式；(2)如果1994年大气中CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[思路探究](1)列出方程组求系数，从而求解析式；(2)由x＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．[解](1)由题目中的数据得p＋q＋r＝1，4p＋2q＋r＝3，9p＋3q＋r＝6，解得p＝12，q＝12，r＝0，由ab＋c＝1，ab2＋c＝3，ab3＋c＝6，解得a＝83，b＝32，c＝－3，-7-所以f(x)＝12x2＋12x,g(x)＝83·32x－3.(2)因为f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近16，所以选用f(x)＝12x2＋12x作为模拟函数好．解决函数应用题时的常用方法：先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解](1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q＝at2＋bt＋c，即150＝a×502＋b×50＋c，108＝a×1102＋b×110＋c，150＝a×2502＋b×250＋c.所以a＝1200，b＝－32，c＝4252.解得Q＝1200t2－32t＋4252.(2)Q＝1200(t－150)2＋4252－2252-8-＝1200(t－150)2＋100，所以当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.三种函数模型的表达式及其增长特点的总结(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a0)，当b1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0b1时，函数值由快到慢地减少．(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m0)，当a1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0a1时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢．(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.1．思考辨析(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．()(2)对于任意的x0，都有2xlog2x.()(3)对于任意的x，都有2xx2.()[答案](1)×(2)√(3)×2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456633y2529245218919685177149y356.16.616.957.207.40其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．y3y2y1[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·qx(q0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p0，p≠1)；-9-③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.③，x2－8x＋17[①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得1＋p＋q＝109＋3p＋q＝2，解得p＝－8，q＝17，所以，f(x)＝x2－8x＋17.]4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入