2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集教师用

-1-2．1.1等式的性质与方程的解集考点学习目标核心素养等式的性质掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式数学运算方程的解集会利用等式的性质解一元一次方程，会用因式分解法解一元二次方程数学运算问题导学预习教材P43－P46的内容，思考以下问题：1．等式的性质有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的内容是什么？4．方程的解集的概念是什么？1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．[注意]等式性质成立的条件，特别是性质(2)中的“不为零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝b，则a－c＝b－c.()(2)若a＝b，则ac＝bc.()(3)若ac＝bc，则a＝b.()(4)x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．()-2-(5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是()A．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1B．m2－4m＋4＝(m－2)2C．(x＋3)(x－3)＝x2－9D．t2＋3t－16＝(t＋4)(t－4)＋3t答案：B已知x2＋kxy＋64y2是一个完全式，则k的值是()A．8B．±8C．16D．±16答案：D方程2x＋13－3x＋42＝12的解集为________．解析：由2x＋13－3x＋42＝12，得2(2x＋1)－3(3x＋4)＝3，即－5x－10＝3，所以x＝－135.所以方程的解集为－135.答案：－135方程x2＋2x－15＝0的解集为________．解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集为{3，－5}．答案：{3，－5}利用十字相乘法分解单变量多项式角度一x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12.【解】(1)如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2-3-的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)．(2)由图，得所以x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).x2＋(p＋q)x＋pq此类二次三项式的特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．其分解因式为：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．角度二ax2＋bx＋c型式子的因式分解分解因式：(1)6x2＋5x＋1；(2)6x2＋11x－7；(3)42x2－33x＋6；(4)2x4－5x2＋3.【解】(1)由图，得所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)．(2)由图，得所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．(3)由图，得所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．(4)由图，得-4-所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)x＋62x－62.对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.答案：(1)(x－1)(x－2)(2)(x＋1)(x＋36)(3)(a－b＋4)(a－b＋7)(4)(2m－3)2利用十字相乘法分解双变量多项式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5xy－6y(x0，y0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.【解】(1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(x＋6y)(x－y)；-5-(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋2n)(m－2n)(m2＋3n2)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2这类二次齐次式的特点是：(1)x2的系数为1；(2)y2的系数为两个数的积(pq)；(3)xy的系数为这两个数之和(p＋q)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；(4)6(x＋y)＋7z（x＋y）＋2z(x0，y0，z0)．【解】(1)(3m＋2n)(2m－3n)．(2)(4x＋3y)(5x－2y)．(3)(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)．(4)(3x＋y＋2z)(2x＋y＋z)．对ax2＋bxy＋cy2因式分解时，若将y2也视为常数，则与ax2＋bx＋c的分解方法是一致的．1．分解下列各因式：(1)x2－xy－2y2－2x＋7y－3；(2)ab－2a－b＋2.解：(1)(x－2y)(x＋y)－2x＋7y－3＝(x－2y＋1)·(x＋y－3)；(2)(b－2)(a－1)．2．分解因式：x2＋(2m＋1)x＋m2＋m.解：x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝(x＋m)(x＋m＋1)．一元一次方程的解集用适当的方法求下列方程的解集：(1)x0.7－0.17－0.2x0.03＝1；-6-(2)x－12x－12（x－1）＝2（x－1）3.【解】(1)原方程可化为107x－1003(0.17－0.2x)＝1，即107x－17－20x3＝1，去分母，得30x－7(17－20x)＝21，去括号，得30x－119＋140x＝21，移项，得30x＋140x＝21＋119，合并同类项，得170x＝140，系数化为1，得x＝1417.所以该方程的解集为1417.(2)去小括号，得x－12x－12x＋12＝2x－23，去括号，得x－12x＋14x－14＝2x－23，去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，合并同类项，得x＝－5.所以该方程的解集为{－5}．解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．1．求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；(2)2x－13＝2x＋16－1.解：(1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.所以该方程的解集为{－13}．(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.-7-去括号，得4x－2＝2x＋1－6.移项，得4x－2x＝1－6＋2.合并同类项，得2x＝－3.系数化为1，得x＝－32.所以该方程的解集为－32.2．如果方程x－43－8＝－x＋22的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－1a的值．解：解方程x－43－8＝－x＋22，去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，去括号，得2x－8－48＝－3x－6，移项、合并同类项，得5x＝50，系数化为1，得x＝10.把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.当a＝－4时，a－1a＝－4－1－4＝－154.因式分解法解一元二次方程用因式分解法求下列方程的解集．(1)6x(x＋1)＝5(x＋1)；(2)(2x－1)2－(x＋1)2＝0；(3)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.【解】(1)分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝56，x2＝－1.所以方程的解集为56，－1.(2)分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.所以方程的解集为{0，2}．-8-(3)整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1.所以方程的解集为{1}．用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．[提醒]①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．用因式分解法求下列方程的解集：(1)xx－12＝x；(2)(x－3)2＋2x－6＝0；(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.解：(1)xx－12－1＝0，即xx－32＝0，所以x1＝0，x2＝32，所以该方程的解集为0，32.(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0，所以x－3＝0或x－1＝0，所以x1＝3，x2＝1，所以该方程的解集为{3，1}．(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，所以(10x－1)(2x＋19)＝0，所以10x－1＝0或2x＋19＝0，所以x1＝110，x2＝－192.所以该方程的解集为110，－192.-9-1．分解因式x3－x，结果为()A．x(x2－1)B．x(x－1)2C．x(x＋1)2D．x(x＋1)(x－1)解析：选D.x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．2．已知a＋b＝3，ab＝2，计算：a2b＋ab2等于()A．5B．6C．9D．1解析：选B.a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.3．分解因式a2＋8ab－33b2得()A．(a＋11)(a－3)B．(a＋11b)(a－3b)C．(a－11b)(a－3b)D．(a－11b)(a＋3b)解析：选B.a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．4．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．解析：因为3x(x－2)＝2－x，所以3x(x－2)－(2－x)＝0，即3x(x－2)＋(x－2)＝0，所以(x－2)(3x＋1)＝0，所以x＝2或x＝－13，所以方程的解集为2，－13.答案：2，－135．把下列各式分解因式：(1)x2＋15x＋56；(2)6x2＋7x－3；(3)x2－6xy－7y2；(4)8x2＋26xy＋15y2.解：(1)x2＋15x＋56＝(x＋7)(x＋8)；(2)6x2＋7x－3＝(2x＋3)(3x－1)；(3)x2－6xy－7y2＝(x－7y)(x＋y)；(4)8x2＋26xy＋15y2＝(2x＋5y)(4x＋3y)．-10