2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1.3 函数的奇偶性（第2课时）函数奇偶性的

-1-第2课时函数奇偶性的应用(习题课)考点学习目标核心素养利用奇偶性求函数的解析式会利用函数的奇偶性求函数的解析式数学运算函数的奇偶性与单调性的综合问题能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题数学运算、逻辑推理利用奇偶性求函数的解析式若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．【解】当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1，故f(x)＝x2－2x－1(x＞0)，0(x＝0)，－x2－2x＋1(x＜0).1．(变问法)在本例条件下，求f(－3)的值．解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.2．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．解：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x－1，即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1.-2-利用奇偶性求函数解析式的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)利用已知区间的解析式代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.(①－②)÷2，得g(x)＝2x.函数的奇偶性与单调性的综合问题角度一比较大小问题设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)f(－3)f(－2)B．f(π)f(－2)f(－3)C．f(π)f(－3)f(－2)D．f(π)f(－2)f(－3)【解析】因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π32，所以f(π)f(3)f(2)，故f(π)f(－3)f(－2)．【答案】A角度二解不等式已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝xx2＋1.(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.-3-【解】(1)因为f(x)＝xx2＋1，所以任取x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，所以f(－x)＝－xx2＋1＝－xx2＋1＝－f(x)．故f(x)＝xx2＋1为奇函数．任取x1，x2∈(－1，1)且x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＝x2x22＋1－x1x21＋1＝x2(x21＋1)－x1(x22＋1)(x21＋1)(x22＋1)＝(x2－x1)(1－x1x2)(x21＋1)(x22＋1).因为x2－x1＞0，1－x1x2＞0且分母x21＋1＞0，x22＋1＞0，所以f(x2)＞f(x1)，故f(x)＝xx2＋1在(－1，1)上为增函数．(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t－1)＋f(2t)＜0，得f(t－1)＜－f(2t)＝f(－2t)．所以有－1＜t－1＜1，－1＜－2t＜1，t－1＜－2t，即0＜t＜2，－12＜t＜12，t＜13.解得0＜t＜13.故不等式f(t－1)＋f(2t)＜0的解集为t|0＜t＜13.奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，-4-然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．1．(2019·泰安检测)设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若－π，－π2是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)的单调递减区间的是()A.－π2，0B.π2，πC.π，3π2D.3π2，2π解析：选B.因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在π2，π上F(x)一定单调递减．2．(2019·襄阳检测)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)f13的实数x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23解析：选A.因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足f(2x－1)f13，所以不等式等价为f(|2x－1|)f13，即|2x－1|13，所以－132x－113，计算得出13x23，故x的取值范围是13，23.1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝－2x解析：选B.对于函数y＝|x|＋1，-5-f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－2x不是偶函数．故选B.2．如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是()A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－3解析：选D.当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x0的解集为()A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.因为f(x)为奇函数，f(x)－f(－x)x0，即f(x)x0，因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，所以当x1时，f(x)0.因为奇函数图像关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x－1时，f(x)0.综上使f(x)x0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)0，则a＋b________0(填“”“”或“＝”)．解析：由f(a)＋f(b)0得f(a)－f(b)，因为f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．所以f(a)f(－b)，又f(x)为减函数，-6-所以a－b，即a＋b0.答案：5．已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式．解：因为x＜0，所以－x＞0，所以f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|.故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|.[A基础达标]1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)()A．可能是增函数，也可能是常函数B．是增函数C．是常函数D．是减函数解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以m＝±1；当m＝1时，f(x)＝1是常函数；当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1在(－∞，0]上是增函数．3．(2019·焦作检测)设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为()A．(－1，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－2，0)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)解析：选C.根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(－2)＝0，则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，函数f(x)的草图如图，-7-又由xf(x)＜0⇒x0f(x)0或x0f(x)0，由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.4.(2019·宁波检测)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．21B．－21C．26D．－26解析：选B.设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.5．(2019·青岛二中检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x10且x1＋x20，则()A．f(－x1)f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定解析：选A.因为x2－x10，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x2)f(－x1)．又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，所以f(－x2)f(－x1)．6．已知y＝f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.答案：57．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．-8-解析：根据偶函数的性质，易知f(x)＞0的解集为(－2，2)，若f(x－1)＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1，3)8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，因为图像关于y轴对称，且它的值域为(－∞，4]，所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0(舍去)，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又因为值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，所以f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋49．已知函数f(x)＝1－2x.(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a，得g(x)＝1－a－2x，因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即1－a－2(－x)＝－1－a－2x，解得a＝1.(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．证明如下：设0x1x2，则f(x1)