2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法（第2

-1-第2课时集合的表示考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象描述法表示集合理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合数学抽象区间及其表示会用区间表示集合数学抽象集合表示法的简单应用学会在集合的不同表示法中作出选择和转换数学抽象问题导学预习教材P5倒数第4行－P8的内容，思考以下问题：1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？4．如何用区间表示集合？1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．■名师点拨(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．2．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性-2-质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．■名师点拨(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．(2)注意区分以下四个集合①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.3．区间的概念及表示(1)区间的定义及表示设a，b是两个实数，而且ab.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|a≤xb}半开半闭区间[a，b){x|ax≤b}半开半闭区间(a，b](2)无穷的概念及无穷区间的表示定义R{x|x≥a}{x|xa}{x|x≤a}{x|xa}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)■名师点拨关于无穷大的两点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)-3-(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．()(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()(4)集合{x|x3，且x∈N}与集合{x∈N|x3}表示同一个集合．()(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×方程x2－1＝0的解集用列举法表示为()A．{x2－1＝0}B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1，1}D．以上都不对解析：选C.解方程x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．集合{x∈N*|x－32}的另一种表示法是()A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}解析：选B.因为x－32，x∈N*，所以x5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1x5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1x5}．答案：{0，1，2，3，4}{x∈N|－1x5}(1){x|－1≤x≤2}可用区间表示为________；(2){x|1x≤3}可用区间表示为________；(3){x|x2}可用区间表示为________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为________；答案：(1)[－1，2](2)(1，3](3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；-4-(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组2x＋y＝8，x－y＝1的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N.【解】(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0，1，2，所以A＝{－2，－1，0，1，2}．(2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}．(3)解方程组2x＋y＝8，x－y＝1得x＝3，y＝2.所以B＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15，所以N＝{1，3，5，15}．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1000}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}．[注意](1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；(3)小于8的质数组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图像的交点组成的集合D.解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}．(3)小于8的质数有2，3，5，7，-5-所以C＝{2，3，5，7}．(4)由y＝x＋3，y＝－2x＋6，解得x＝1，y＝4，所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图像的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x的图像上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－35的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】(1)函数y＝－2x2＋x的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－35的解组成的集合可表示为{x|2x－35}，即{x|x4}．(3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤32，－12≤y≤1，xy≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同属性．(3)不能出现未被说明的字母．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}．(2)用描述法表示为{x∈Z|2x7}，用列举法表示为{3，4，5，6}．区间及其表示把下列数集用区间表示：-6-(1)x|x≥－12；(2){x|x＜0}；(3){x|－2＜x≤3}；(4){x|－3≤x＜2}；(5){x|－1＜x＜6}．【解】(1)－12，＋∞；(2)(－∞，0)；(3)(－2，3]；(4)[－3，2)；(5)(－1，6)．解决区间问题应注意的五点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示．(5)要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号．1．若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知3a－1＞2a＋1，即a＞2.答案：(2，＋∞)2．不等式2x＋3≤0的解集可用区间表示为________．解析：由2x＋3≤0，得x≤－32.答案：－∞，－323．使15－x有意义的x的取值范围为________(用区间表示)．解析：要使15－x有意义，则5－x＞0，即x＜5.答案：(－∞，5)-7-集合表示方法的简单应用已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．【解】①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝32，符合题意．②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥13，即当m≥13时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m＝0或m≥13.1．(变条件)若将本例中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？解：当m＝0时，A＝32，即集合A中只有一个元素32，符合题意；当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝13.综上可知，m＝0或m＝13.2．(变条件)若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当m＝0或m＝13时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m0，即m13且m≠0.所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为mm≤13.此题容易漏解m＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m进行分类讨论.已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝()A．{1}B．{1，2}C．{2，5}D．{1，5}-8-解析：选D.由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出，p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；则x－1＝0或x－1＝4，计算得出，x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．1．已知集合A＝{x|－1x3，x∈Z}，则一定有()A．－1∈AB．12∈AC．0∈AD．1∉A解析：选C.因为－103，且0∈Z，所以0∈A.2．将集合（x，y）x＋y＝5，2x－y＝1用列举法表示，正确的是()A．{2，3}B．{(2，3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2，3)解析：选B.解方程组x＋y＝5，2x－y＝1得x＝2，y＝3，所以集合（x，y）x＋y＝5，2x－y＝1＝{(2，3)}．3．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x，y)|x0，y0}；②方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2