2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第1课

-1-第1课时基本不等式考点学习目标核心素养基本不等式理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理利用基本不等式求最值能够运用基本不等式求函数或代数式的最值数学运算问题导学预习教材P44－P46，并思考以下问题：1．基本不等式的内容是什么？2．基本不等式成立的条件是什么？3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？1．重要不等式与基本不等式■名师点拨(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．2．基本不等式与最值已知x＞0，y＞0，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24．(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2P．记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．-2-■名师点拨利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：①一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．()(2)若a0，b0且a≠b，则a＋b2ab.()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.()(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×如果a0，那么a＋1a＋2的最小值是()A．2B．22C．3D．4解析：选D.因为a0，所以a＋1a＋2≥2a·1a＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号．不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提条件为()A．x≥2yB．x2yC．x≤2yD．x2y解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y0，即x2y，故选B.已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤x＋（1－x）22＝122＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时“＝”成立，即当x＝12时，x(1－x)取得最大值14.答案：1412-3-对基本不等式的理解下列结论正确的是()A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4B．当x0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0x≤2时，x－1x无最大值【解析】对于选项A，当x0时，4x＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝1x，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－1x在0x≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.【答案】B应用基本不等式时的三个关注点给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只须a，b同号即可，所以①③④均可以．故选C.-4-利用基本不等式直接求最值(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．【解】(1)依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.(2)因为正数x，y满足2x＋y＝1，所以2x＋y＝1≥22xy，所以2xy≤12，解得xy≤18，当且仅当x＝14，y＝12时取等号．(1)若a＋b＝S(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值S24，可以用基本不等式ab≤a＋b2求得．(2)若ab＝P(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2P，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36解析：选B.因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x＋y22＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.2．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：选C.因为a，b都是正数，所以1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a时取等号．利用基本不等式求最值-5-(1)已知x2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．(2)若0x12，则函数y＝12x(1－2x)的最大值是________．(3)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．【解析】(1)因为x2，所以x－20，所以y＝x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2（x－2）·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋4x－2的最小值为6.(2)因为0x12，所以1－2x0，所以y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋1－2x22＝14×14＝116，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝14时，ymax＝116.(3)因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，所以1x＋1y＝x＋4yx＋x＋4yy＝5＋4yx＋xy≥9，当且仅当4yx＝xy，即x＝13，y＝16时取等号．【答案】(1)6(2)116(3)9若把本例(1)中的条件“x2”改为“x2”，求y＝x＋4x－2的最大值．解：因为x2，-6-所以2－x0，所以f(x)＝x＋4x－2＝－（2－x）＋42－x＋2≤－2（2－x）42－x＋2＝－2，当且仅当2－x＝42－x，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．故f(x)＝x＋4x－2的最大值为－2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．1．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：选B.由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时取等号．2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋1)＋6x2＋1－3≥23（x2＋1）·6x2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x2＝2－1时等号成立，故选D.-7-3．已知x0，y0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为________．解析：x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx·9xy＝10＋6＝16.即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.答案：161．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：选D.a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．若a0，b0，a＋2b＝5，则ab的最大值为()A．25B.252C.254D.258解析：选D.a0，b0，a＋2b＝5，则ab＝12a·2b≤12×a＋2b22＝258，当且仅当a＝52，b＝54时取等号，故选D.3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC.2aa－1D．3解析：选D.因为a＞1，所以a－1＞0，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝3.-8-当且仅当a－1＝1a－1即a＝2时取等号．4．已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．解：因为x，y为正实数，所以(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3xy≥4＋23.当且仅当yx＝3xy，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号．又x＋y＝4，所以1x＋3y≥1＋32，故1x＋3y的最小值为1＋32.[A基础达标]1．已知a，b∈R，且ab0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以ba0，ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2成立．2.（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322-9-解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，所以（3－a）（a＋6）≤（3－a）＋（a＋6）2＝92.即（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为92.3．已知实数x，y满足x0，y0，且2x＋1y＝1，则x＋2y的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选D.因为x0，y0，且2x＋1y＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy时等号成立．故选D.4．设x0，则y＝3－3x－1x的最大值是()A．3B．3－22C．3－23D．－1解析：选C.y＝3－3x－1x＝3－3x＋1x≤3－23x·1x＝3－23，当且仅当3x＝1x，即x＝33时取等号．5．设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为()A．0B.12C．1D.32解析：选A.因为x＞0，所以x＋12＞0，所以y＝x＋22x＋1－32＝x＋12＋1x＋12－2-10-≥2x＋12·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立，所以函数的最小值为0.6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝16(2x·3y)≤16·2x＋3y22＝16·622＝32.当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.答案：327．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则1m＋2n的最小值为________．解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，所以1m＋2n＝2m＋nm＋2（2m＋n）n＝4＋nm＋4mn≥8.答案：88．给出下列不等式：①x＋1x≥2；②x＋1x≥2；③x2＋y2xy≥2；④x2＋y22xy；⑤|x＋y|2≥|xy|.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x0时，x＋1x≥2；当x0时，x＋1x≤－2，①不正确；因为x与1x同号，所以x＋1x＝|x|＋1|x|≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；-11-当x＝y时，x2＋y22＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．答案：②9．已知y＝x＋1x.(1)已知x＞0，求y的最小值；(2)已知x＜0，求y的最大值．解：(1)因为x＞0，所以x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝