2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数教师用书 新人教A版必

-1-4．1指数考点学习目标核心素养根式的化简与求值理解n次方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算数学抽象根式与分数指数幂的互化理解整数指数幂和分数指数幂的意义，并能熟练掌握根式与分数指数幂之间的相互转化数学运算利用指数幂的性质化简求值理解指数幂的含义及其运算性质数学运算条件求值问题会根据已知条件，利用指数幂的运算性质、根式的性质进行相关求值运算数学运算问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*性质n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x在实数范围内不存在-2-■名师点拨0的任何次方根都是0，即n0＝0.2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a．②nan＝a，n为奇数，|a|，n为偶数.■名师点拨nan与(na)n的区别(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.3．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义■名师点拨分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．4．指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．-3-(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当n∈N*时，(n－3)n有意义．()(2)（π－4）2＝4－π.()(3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．()(4)0的任何指数幂都等于0.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×81的4次方根是()A．2B．±2C．3D．±3答案：D1681－14的值是()A.23B.32C.481D．－814答案：B根式3m－5化为分数指数幂为________．答案：m－53计算(π－3)0＋3－1×21412的结果为________．解析：原式＝1＋13×32＝1＋12＝32.答案：32根式的化简与求值求下列各式的值．-4-(1)3（－2）3；(2)4（－3）2；(3)8（3－π）8；(4)x2－2xy＋y2＋7（y－x）7.【解】(1)3（－2）3＝－2.(2)4（－3）2＝432＝3.(3)8（3－π）8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝（x－y）2＋y－x＝|x－y|＋y－x.当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．所以原式＝0，x≥y，2（y－x），x＜y.根式的化简与求值的思路及注意点(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．(2)注意点：①正确区分(na)n与nan两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论．1．下列各式正确的是()A.（－5）2＝－5B.4a4＝aC.72＝7D.3（－π）3＝π解析：选C.由于（－5）2＝5，4a4＝|a|，3（－π）3＝－π，故A，B，D项错误，故选C.2．化简(a－1)2＋（1－a）2＋3（1－a）3＝________．解析：由(a－1)2知a－1≥0，a≥1.故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.答案：a－13．若（2a－1）2＝3（1－2a）3，则实数a的取值范围为________．-5-解析：（2a－1）2＝|2a－1|，3（1－2a）3＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤12.答案：－∞，12根式与分数指数幂的互化把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：(1)(a－b)－34(a＞b)；(2)5（ab）2；(3)3（x－1）5；(4)13a2；(5)(a－b)37.【解】(1)(a－b)－34＝14（a－b）3.(2)5（ab）2＝(ab)25.(3)3（x－1）5＝(x－1)53.(4)13a2＝a－23(5)(a－b)37＝7（a－b）3.根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[注意]如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．-6-1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(只填序号)．①－x＝(－x)12(x＞0)；②6y2＝y13(y＜0)；③x－34＝41x3(x＞0)；④x－13＝－3x(x≠0)．解析：对于①，－x＝－x12，故①错误；对于②，当y＜0时，6y2＞0，y13＜0，故②错误；对于③，x－34＝14x3＝41x3(x＞0)，故③正确；对于④，x－13＝13x，故④错误．综上，故填③.答案：③2．用分数指数幂的形式表示下列各式(a0，b0)：(1)a2a；(2)3a2·a3；(3)(3a)2·ab3；(4)a26a5.解：(1)原式＝a2a12＝a2＋12＝a52.(2)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.(3)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23a12b32＝a23＋12b32＝a76b32.(4)原式＝a2·a－56＝a2－56＝a76.利用指数幂的性质化简求值计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)2350＋2－2×214－12－(0.01)0.5；-7-(2)2790.5＋0.1－2＋21027－23－3π0＋3748；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(4)23a2÷46a·b·3b3.【解】(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝25912＋110－2＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－a3c.(4)原式＝2a23÷4a16b16·3b32＝12a23－16·b－16·3b32＝32a12b43.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；-8-(2)14－12·（4ab－1）30.1－2·（a3b－3）12(a＞0，b＞0)．解：(1)原式＝1＋232·27823－10＋932＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19.(2)原式＝412·0.12·23·a32·b－32a32·b－32＝2×1100×8＝425.条件求值问题已知x12＋x－12＝3，求2x－1＋x＋3的值．【解】因为x12＋x－12＝3，所以(x12＋x－12)2＝9，所以(x12)2＋2x12·x－12＋(x－12)2＝9，所以x＋2＋x－1＝9，所以x＋x－1＝7，所以原式＝27＋3＝15.1．(变条件)若将条件“x12＋x－12＝3”改为“x12－x－12＝1”，如何求值？解：将x12－x－12＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，则2x＋x－1＋3＝23＋3＝13.2．(变问法)在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？-9-解：将x12＋x－12＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则x＋x－1＝7，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求x12－y12x12＋y12＝1×50＝50.