2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第1课时）对数函

-1-第1课时对数函数的概念、图象及性质考点学习目标核心素养对数函数的概念理解对数函数的概念，会判断对数函数数学抽象对数函数的图象初步掌握对数函数的图象和性质直观想象对数函数的定义域问题能利用对数函数的性质解决与之有关的定义域问题数学运算问题导学预习教材P130－P135，并思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝log12x的图象吗？3．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？1．对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．■名师点拨在对数函数的定义表达式y＝logax(a0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．2．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象性质定义域(0，＋∞)值域R-2-定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数■名师点拨底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝logx3都是对数函数．()(2)对数函数的定义域、值域都是R.()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)函数y＝log2x与y＝2x互为反函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√下列函数是对数函数的是()A．y＝lnxB．y＝ln(x＋1)C．y＝logxeD．y＝logxx答案：A函数f(x)＝lg(3x)－2－x的定义域是()A．(0，2)B．[0，2]C．[0，2)D．(0，2]答案：D对数函数f(x)＝logax的图象过点(3，1)，则f(9)的值为________．答案：2若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．答案：(－∞，0)对数函数的概念下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；-3-(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．判断一个函数是对数函数的方法1．下列函数是对数函数的是()A．y＝log14xB．y＝log14(x＋1)C．y＝2log14xD．y＝log14x＋1解析：选A.形如y＝logax(a0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A.2．若函数y＝(a2－4a＋4)·logax是对数函数，则实数a的值为________．解析：因为(a2－4a＋4)·logax是对数函数，则a2－4a＋4＝1，得a＝1或a＝3.由于a0，a≠1，则a＝1舍去，即a＝3.答案：33．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3.答案：3与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域：(1)y＝1log2（x－1）；(2)y＝log2(16－4x)；-4-(3)y＝log(x－1)(3－x)．【解】(1)要使函数式有意义，需x－10，log2（x－1）≠0，解得x1，且x≠2.所以函数y＝1log2（x－1）的定义域是{x|x1，且x≠2}．(2)要使函数式有意义，需16－4x0，解得x2.所以函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x2}．(3)要使函数式有意义，需3－x0，x－10，x－1≠1，解得1x3，且x≠2.所以函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1x3，且x≠2}．(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则①分母不能为0；②根指数为偶数时，被开方数非负；③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.(2)求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)；②化简并解出自变量的取值范围；③确定函数的定义域．求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝logx－2(5－x)．解：(1)要使函数式有意义，需x＋10，1－x0，所以x－1，x1，所以－1x1.所以该函数的定义域为(－1，1)．(2)要使函数式有意义，需5－x0，x－20，x－2≠1，所以x5，x2，x≠3，所以2x5，且x≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)．对数型函数的图象角度一对数型函数图象的辨析-5-已知a＞0，且a≠1，则函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是()【解析】当a＞1时，函数y＝logax为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于1；当0＜a＜1时，函数y＝logax为减函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.【答案】C角度二作对数型函数的图象画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性：(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|log12x|.【解】(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y＝|log12x|＝log12x，0x≤1，log2x，x1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．角度三对数型函数图象的数据分析如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.【答案】B-6-有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．1．在同一坐标系中，函数y＝2－x与y＝log2x的图象是()解析：选A.函数y＝2－x＝12x过定点(0，1)，单调递减，函数y＝log2x过定点(1，0)，单调递增，故选A.2.已知函数y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的图象如图所示．(1)求实数a与b的值；(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图象有何关系？解：(1)由图象可知，函数的图象过(－3，0)点与(0，2)点，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4.(2)函数y＝loga(x＋4)的图象可以由y＝logax的图象向左平移4个单位得到．1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4xB．y＝log14xC．y＝log12xD．y＝log2x解析：选D.由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.2．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是()A．(0，5)B．(1，4)C．(2，4)D．(2，5)-7-解析：选C.令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2，4)．故选C.3．若函数y＝loga(x＋a)(a0且a≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将点(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a0且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋20，解得x－2，所以函数的定义域为{x|x－2}．[A基础达标]1．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A．y＝x2B．y＝(x)2C．y＝log22xD．y＝2log2x解析：选C.y＝x2＝|x|，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，y＝log22x＝x(x∈R)，y＝2log2x＝x(x0)，故与函数y＝x是同一个函数的是y＝log22x.故选C.2．y＝2x与y＝log2x的图象关于()A．x轴对称B．直线y＝x对称C．原点对称D．y轴对称解析：选B.函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，故函数图象关于直线y＝x对称．3．函数f(x)＝lnx－122＋1x＋2的定义域为()A.－2，12B．(－2，＋∞)C.－2，12∪12，＋∞D.12，＋∞解析：选C.对于函数f(x)＝lnx－122＋1x＋2，有x－12≠0，x＋20.解得x－2且x≠12.故定义域为－2，12∪12，＋∞.4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()-8-解析：选C.由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB.12xC．log12xD．2x－2解析：选A.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，a2－4a－5＝0，a＞0，a≠1，解得a＝5.答案：57．函数y＝loga(x＋1)－2(a0且a≠1)的图象恒过点________．解析：依题意，当x＝0时，y＝loga(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．答案：(0，－2)8．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则3－a＞1，a＞1，即1＜a＜2，若f(x)，g(x)均为减函数，则0＜3－a＜1，0＜a＜1无解．综上，a的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)9．已知函数f(x)＝log3x.(1)作出函数f(x)的图象；(2)由图象观察当x1时，函数的值域．解：(1)函数f(x)的图象如图：(2)当x1时，f(x)0.故当x1时，函数值域为(0，＋∞)．10．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．-9-(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；(2)判断函数y＝f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明．解：(1)要使函数y＝f(x)－g(x)有意义，必须有3＋2x＞0，3－2x＞0，解得－32＜x＜32.所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是x－32＜x＜32.(2)由(1)知函