2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第1课

-1-第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性考点学习目标核心素养函数的周期性了解周期函数的概念数学抽象正、余弦函数的周期性理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算正、余弦函数的奇偶性理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性逻辑推理问题导学预习教材P201－P203，并思考以下问题：1．周期函数的定义是什么？2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．■名师点拨对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR-2-周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数■名师点拨(1)正、余弦函数的周期性①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的；②由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)也可以说明它们的周期性．③函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω0)的周期T＝2πω.(2)关于正、余弦函数的奇偶性①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称；②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinπ4＋π2＝sinπ4，则π2是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()(3)因为sin(2x＋2π)＝sin2x，所以函数y＝sin2x的最小正周期为2π.()(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列函数中，最小正周期为4π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sinx2D．y＝cos2x答案：C函数y＝2sin2x＋π2是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数-3-答案：B函数y＝3－cosx的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝π2对称答案：B若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝3，则f(2)＝________．答案：3正、余弦函数的周期问题求下列三角函数的最小正周期T：(1)f(x)＝sinx＋π3；(2)f(x)＝12cos(2x＋π3)；(3)f(x)＝|sinx|.【解】(1)令z＝x＋π3，因为sin(2π＋z)＝sinz，所以f(2π＋z)＝f(z)，f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3，所以T＝2π.(2)法一(定义法)：因为f(x)＝12cos(2x＋π3)＝12cos(2x＋π3＋2π)＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，所以函数f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期T＝π.法二(公式法)：因为f(x)＝12cos(2x＋π3)，所以ω＝2.-4-又最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π，所以函数f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期T＝π.(3)法一：因为f(x)＝|sinx|，所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，故f(x)的最小正周期为π.法二：画出函数y＝|sinx|的图象，如图所示，由图象可知最小正周期T＝π.求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的函数，可利用T＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．1．设函数f(x)＝sin12x－π3，则f(x)的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π解析：选D.函数f(x)＝sin12x－π3的最小正周期T＝2π12＝4π.故选D.2．设a＞0，若函数y＝sin(ax＋π)的最小正周期是π，则a＝________．解析：由题意知T＝2πa＝π，所以a＝2.答案：2-5-正、余弦函数的奇偶性问题判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos2x＋5π2；(2)f(x)＝sin(cosx)．【解】(1)函数的定义域为R，且f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin2x.因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cos2x＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R，且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)，所以函数f(x)＝sin(cosx)是偶函数．利用定义判断函数奇偶性的三个步骤[注意]与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公式化简，再判断函数的奇偶性．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sinx.解：(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)函数的定义域为R，关于原点对称，因为f(x)＝cosx－x3·sinx，所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)＝cosx－x3·sinx＝f(x)，-6-所以f(x)为偶函数．三角函数的奇偶性与周期性的综合应用定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B.12C．－32D.32【解析】f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.【答案】D1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f5π3的值．解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32.2．(变条件、变问法)若本例中函数的最小正周期变为π2，奇偶性不确定，其他条件不变，求f－176π的值．解：因为f(x)的最小正周期是π2，所以f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12.关于周期性、奇偶性的应用(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f(x)与f(－x)之间的转化求值．1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．2B．－2-7-C．－98D．98解析：选B.因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期是4.因为f(x)在R上是奇函数，且当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，所以f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选B.2．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈0，π2时，f(x)＝1－sinx，当x∈5π2，3π时，求f(x)的解析式．解：x∈5π2，3π时，3π－x∈0，π2，因为x∈0，π2时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈5π2，3π.1．设函数f(x)＝sin(2x－π3)，则f(x)的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π解析：选B.函数f(x)＝sin(2x－π3)的最小正周期T＝2π2＝π，故选B.2．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．解析：因为f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin0－|a|＝0，所以a＝0.答案：03．函数f(x)＝2cos2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．解析：函数的定义域为R，f(－x)＝2cos2(－x)＋1＝2cos(－2x)＋1＝2cos2x＋1＝f(x)，故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．答案：y轴4．判断下列函数的奇偶性：-8-(1)f(x)＝sin3x4＋3π2；(2)f(x)＝sin|x|；解：(1)显然x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(2)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．[A基础达标]1．函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(ω0)的最小正周期为π5，则ω等于()A．5B．10C．15D．20解析：选B.由题意，知T＝2πω＝π5，所以ω＝10.2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x解析：选D.y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sinx|是偶函数；y＝sinπ2＋2x＝cos2x是偶函数；y＝cos3π2－2x＝－sin2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.3．函数f(x)＝xsinπ2－x()A．是奇函数B．是非奇非偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选A.由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsinπ2－x＝xcosx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．-9-4．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0，2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.①③④是奇函数．故选C.5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是()A.π4B.π2C．πD.3π2解析：选C.要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.6．函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________．解析：T＝2π2＝π.答案：π7．已知f(n)＝sinnπ4(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.解析：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝2＋1.答案：2＋18．若0απ2，g(x)＝sin(2x＋π4＋α)是偶函数，则α的值为________．解析：要使g(x)＝sin(2x＋