2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

-1-第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(习题课)三角函数公式逆用求值：(1)sinπ12－3cosπ12；(2)3－tan15°1＋3tan15°.【解】(1)sinπ12－3cosπ12＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ12－π3＝2sin－π4＝－2.(2)3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.(1)在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造成适合公式的形式．1．cos24°cos36°－cos66°cos54°的值等于()A．0B.12C.32D．－12解析：选B.因为cos24°cos36°－cos66°·cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝12.故选B.-2-2．已知sinα＋cosα－π6＝435，则sinα＋7π6的值是________．解析：sinα＋cosα－π6＝sinα＋cosα·cosπ6＋sinα·sinπ6＝32sinα＋32cosα＝332sinα＋12cosα＝3sinαcosπ6＋cosαsinπ6＝3sinα＋π6＝435.所以sinα＋π6＝45.所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.答案：－453．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，则a，b的大小关系是________(用“”连接)．解析：a＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°，b＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°，由y＝sinx在(0°，90°)上的单调性可知ab.答案：ab三角函数公式的活用计算：(1)tanπ9＋tan2π9＋3tanπ9tan2π9；(2)(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)．【解】(1)tanπ9＋tan2π9＋3tanπ9·tan2π9＝tanπ9＋2π9(1－tanπ9·tan2π9)＋3tanπ9tan2π9＝31－tanπ9tan2π9＋3tanπ9tan2π9＝3.(2)(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°·tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°＝1＋(1－tan21°tan24°)tan45°＋tan21°·tan24°＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°·tan24°＝2，同理可得(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，-3-所以原式＝2×2＝4.正切函数公式的变形结论tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ；tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；tanα－tanβ＝tan(α－β)·(1＋tanαtanβ)；tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．1．计算：tan73°＋tan193°－3tan73°tan13°＝________．解析：原式＝tan73°－tan13°－3tan73°tan13°＝tan(73°－13°)(1＋tan73°tan13°)－3tan73°tan13°＝3.答案：32．已知△ABC中，3tanAtanB－tanA－tanB＝3，则C的大小为________．解析：依题意有tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3.又因为0A＋Bπ，所以A＋B＝2π3，所以C＝π－A－B＝π3.答案：π3三角函数式的化简化简：(1)(tan10°－3)·cos10°sin50°；(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ]．【解】(1)原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°-4-＝－sin（60°－10°）cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.(2)原式＝sin(α＋β)cosα－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]＝sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形使用这些公式．化简：(1)sinθ＋sinθ＋2π3＋sinθ＋4π3；(2)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]×2sin280°.解：(1)原式＝sinθ＋sinθ·cos2π3＋cosθsin2π3＋sinθcos4π3＋cosθsin4π3＝sinθ－12sinθ＋32cosθ－12sinθ－32cosθ＝0.(2)原式＝2sin50°＋sin10°×cos10°＋3sin10°cos10°×2sin80°＝2sin50°cos10°＋2sin10°cos50°cos10°×2cos10°＝22(sin50°cos10°＋sin10°cos50°)＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选D.sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°-5-＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.2．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为________．解析：tanC＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2331－tanAtanB＝－3.所以tanAtanB＝13.答案：133．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝45，β是第三象限角，求sin(β＋π4)的值．解：因为sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝45.所以sinβ＝－45，又β是第三象限角，所以cosβ＝－1－sin2β＝－35，所以sinβ＋π4＝sinβcosπ4＋cosβsinπ4＝－45×22＋－35×22＝－7210.[A基础达标]1．sin20°cos40°＋cos20°sin140°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选B.sin20°cos40°＋cos20°sin140°＝sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin(20°＋40°)＝sin60°＝32.-6-2.1－tan15°1＋tan15°＝()A.33B.3C．1D.12解析：选A.1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan30°＝33.3．已知在△ABC中，cosA－π6＝－13，那么sinA＋π6＋cosA＝()A．－33B.33C．－233D.233解析：选A.因为cosA－π6＝sinπ2＋A－π6＝sinA＋π3＝－13，所以sinA＋π6＋cosA＝32sinA＋32cosA＝312sinA＋32cosA＝3sinA＋π3＝－33.4.2sinπ4－x＋6sinπ4＋x的化简结果是()A．22sin5π12＋xB．22sinx－5π12C．22sin7π12＋xD．22sinx－7π12解析：选A.2sinπ4－x＋6sinπ4＋x＝2sinπ2－π4＋x＋6sinπ4＋x＝2cosπ4＋x＋6sinπ4＋x-7-＝2212cosπ4＋x＋32sinπ4＋x＝22sinπ6cosπ4＋x＋cosπ6sinπ4＋x＝22sinπ6＋π4＋x＝22sin5π12＋x.5．(2019·浙江诸暨中学段考)若α＋β＝3π4，则(1－tanα)·(1－tanβ)等于()A.3B．2C．1＋2D．2(tanA＋tanB)解析：选B.由题可得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1，所以tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ，即2＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝(1－tanα)(1－tanβ)．6．已知tan(α＋β)＝3，tanα＝13，那么tanβ＝________．解析：因为tanα＝13，又tan(α＋β)＝tanβ＋tanα1－tanαtanβ＝3，所以tanβ＝43.答案：437．已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3＝________．解析：cosx＋cosx－π3＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝3×－33＝－1.答案：－18．若tanα，tanβ是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________．解析：由tanα，tanβ是方程x2＋5x＋6＝0的两个根得tanα＋tanβ＝－5，tanαtanβ＝6，则两根同号，且都为负数，故α，β∈－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，又-8-tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，故α＋β＝－3π4.答案：－3π49．化简下列各式：(1)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；(2)sin（2α＋β）sinα－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－32sinx＝12＋1－32sinx＋32－3＋32cosx＝0.(2)原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sinαsinα＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinαsinα＝sin[（α＋β）－α]sinα＝sinβsinα.10．(2019·洛阳质检)已知tanπ4＋α＝2，tan(α－β)＝12，α∈0，π4，β∈－π4，0.(1)求tanα的值；(2)求2α－β的值．解：(1)tanπ4＋α＝