2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念（第1课时）集合

-1-第1课时集合的概念考点学习目标核心素养集合的概念了解集合与元素的概念数学抽象元素与集合的关系理解元素与集合的关系，掌握数学中一些常见的集合及其记法数学抽象、逻辑推理集合中元素的特征及应用理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题数学运算、数学抽象问题导学预习教材P2－P3，并思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．■名师点拨在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合a∉Aa不属于集合A-2-A中的元素■名师点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR4.集合的分类集合有限集（含有有限个元素的集合）无限集（含有无限个元素的集合）判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合中的元素一定是数．()(2)高一四班的全体同学组成一个集合．()(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合．()(4)一个集合中可以找到两个相同的元素．()(5)集合N中的最小元素为0.()(6)若a∈Q，则一定有a∈R.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√(6)√由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选C.由“title”中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共4个．下列关系①0.21∈Q；②105∉N*；③－4∈N*；④4∈N.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.①是正确的，②中105＝2∈N*，③中－4＝－2∉N*，④4＝2∈N是正确的，故①④正确．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．解析：由题意知a＋1＝4，即a＝3.-3-答案：3集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中的全体同学；(2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178cm的同学；(4)班级中比较胖的同学；(5)班级中体重超过75kg的同学；(6)学习成绩比较好的同学【解】(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)因为“身高超过178cm”是确定的，所以可以构成一个集合．(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．(5)“体重超过75kg”是确定的，所以可以构成一个集合．(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的过程为：1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是()①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直-4-角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(ChinaBasketballAssociation)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2，-5-此时A含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.【答案】(1)C(2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A；－5________A.解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－73∉Z.所以－5∉A.答案：∈∉2．已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为________．解析：因为1∉A，2∈A，所以2×1＋a≤0，2×2＋a0，即－4a≤－2.答案：－4a≤－2集合中元素的特征及应用已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A中有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.-6-【答案】－11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？解：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝±2.3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？解：因为由a和a2构成的集合只有一个元素，所以a＝a2，即a＝0或a＝1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.2．若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，求实数x的值．解：因为A＝B，所以x＋1＝x2，1＝x2＋x或x＋1＝x2＋x，1＝x2.解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合，所以x＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是()A．数学必修1课本中所有的难题-7-B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数解析：选B.A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则1a∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则3a∈R解析：选A.A不正确．反例：a＝1∈N，1a＝1∈N.3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.答案：3[A基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是()①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；-8-③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为()A．－5B．－4C．4D．5解析：选A.因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.4．设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A．a∈MB．a∉MC．a＝MD．a≠M解析：选B.因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析：选A.x2＝|x|，－3x3＝－x.当x＝0时，它们均为0；当x0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．-9-6．下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈8．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则|a|a＋|b|b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a0且b0时，|a|a＋|b|b＝2；当a·b0时，|a|a＋|b|b＝0；当a0且b0时，|a|a＋|b|b＝－2.所以集合中的元素为2，0，