2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合

-1-第1课时集合的含义[目标]1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．[重点]用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．[难点]集合元素特性的应用.知识点一元素与集合的含义[填一填]1．定义(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．3．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[答一答]1．以下对象的全体能否构成集合？(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点；(4)不超过2019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合．-2-(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，即“0≤x≤2019”与“x0或x2019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2019的非负数”能构成一个集合．2．若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系[填一填]如果a是集合A中的元素，就说a属于(belongto)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(notbelongto)集合A，记作a∉A.[答一答]3．若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？提示：1∈A,5∉A.知识点三常用数集及表示[填一填][答一答]4．常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括元素0，而N*或N＋不包括元素0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”．5．用符号“∈”或“∉”填空．(1)1∈N*；(2)－3∉N；(3)13∈Q；(4)3∉Q；-3-(5)－12∈R.类型一集合的概念[例1]下列所给的对象能构成集合的是________．(1)所有的正三角形；(2)高一数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；(6)参加里约奥运会的年轻运动员．[答案](1)(4)(5)[解析](1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；(3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.[变式训练1]下列对象能组成集合的是(D)A．3的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2018年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员解析：D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．-4-类型二集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性[例2]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[分析]本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.[变式训练2](1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(D)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(C)A．1B．－2C．6D．2解析：(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.命题视角2：集合元素的无序性[例3]集合A中含有三个元素0，ba，b，集合B中含有三个元素1，a＋b，a，若A，B两个集合相等，求a2019＋b2019的值．[分析]由两个集合相等，所含元素相同列出a，b的关系式，解出a与b，再求a2019＋b2019的值．[解]由两个集合相等易知a≠0，a≠1，故a＋b＝0，且b＝1或ba＝1.-5-若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若ba＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合题意．综上知a＝－1，b＝1.所以a2019＋b2019＝(－1)2019＋12019＝0.两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.[变式训练3]集合A由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a，b∈A，那么ab的不同值有(B)A．12个B．13个C．16个D．17个解析：a，b是集合A的元素，ab的值会因a，b的顺序不同而不同．a，b所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab有13个不同的值．类型三元素与集合的关系[例4](1)给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[答案](1)B(2)0,1,2[解析](1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3|＝3是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63－x∈N，x∈N知x≥0，63－x≥0，且x≠3，故0≤x3.又x∈N，故x＝0,1,2.-6-当x＝0时，63－0＝2∈N，当x＝1时，63－1＝3∈N，当x＝2时，63－2＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.[变式训练4]已知不等式3x＋20的解集为M.(1)试判断元素－1,0与集合M的关系；(2)若a－1是集合M中的元素，求a的取值范围．解：(1)∵3×(－1)＋2＝－10，∴－1不是集合M中的元素，∴－1∉M.又3×0＋2＝20，∴0是集合M中的元素，∴0∈M.(2)∵a－1∈M，∴3(a－1)＋20.∴3a1，∴a13.1．下列各组对象不能构成集合的是(B)A．某中学所有身高超过1.8米的大个子B．约等于0的实数C．某市全体中学生D．北京大学建校以来的所有毕业生解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合．2．下列命题中，正确命题的个数是(C)①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0B．1C．2D．3-7-解析：N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，a∉N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，同理，b∈N*，b的最小值也是1，∴当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．已知a，b是非零实数，代数式|a|a＋|b|b＋|ab|ab的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(B)A．0∈MB．－1∈MC．3∉MD．1∈M解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．4．集合A由元素－1和2构成，集合B是方程x2＋ax＋b＝0的解，若A＝B，则a＋b＝－3.解析：∵A＝B，∴方程x2＋ax＋b＝0的解是－1或2.∴a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，求a的值．解：∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3.①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，|a＋1|＝3，此时集合A中含有两个3，因此应舍去．当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．综上可知a＝－1或a＝－4.——本课须掌握的三大问题1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N，N*(N＋)，Z，Q，R等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果，“∈”与“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．-8-学习至此，请完成课时作业1