2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充学案 苏教版选修2

-1-3.1数系的扩充学习目标核心素养1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．(重点)2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点)3．实部、虚部的概念．(易混点)通过对复数的学习，培养数学抽象素养.1．复数的相关概念(1)虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：①i2＝－1；②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数、复数集①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.②复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．2．复数的分类与复数相等(1)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示]1．复数i－2的虚部是()A．iB．－2C．1D．2-2-C[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为()A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A[∵(x＋y)i＝x－1，∴x＋y＝0，x－1＝0，∴x＝1，y＝－1.]3．①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是__________．(填序号)③[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2－1＝0，x2＋3x＋2≠0，即x＝1，故②错．]4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.2＋i[由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]复数的相关概念【例1】(1)复数z＝4－3i的实部和虚部分别是________和________．(2)复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．(3)当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数．(1)4－3[由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和－3.](2)[解]①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．②当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．-3-③当m2＋m－2≠0，m2－3m＋2＝0，即m＝2时，z为纯虚数．(3)[解]①m2－2m＝0，m≠0，即m＝2，∴当m＝2时，复数z是实数．②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．③由m2＋m－6m＝0，m2－2m≠0，解得m＝－3，∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．1．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①自然数集是非负整数集②实数集与复数集的交集为实数集③实数集与虚数集的交集是{0}④纯虚数集与实数集的交集为空集③[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．]复数的分类及应用【例2】(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________．(2)已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．(1)a0且a＝±b[要使复数z为纯虚数，则a2－b2＝0，a＋|a|≠0，∴a0，a＝±b.](2)[解]①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且mm＋2m－1有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.-4-②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.③要使z为纯虚数，需满足mm＋2m－1＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.2．若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？[解]复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.复数相等的充要条件[探究问题]1．由32能否推出3＋i2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由32不能推出3＋i2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi0，则实数a，b满足什么条件？提示：若复数z＝a＋bi0，则实数a，b满足a0，且b＝0.【例3】(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i0，则实数m的值等于________．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．[思路探究](1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3[∵z0，∴m2－9＝0，m＋1＜0，∴m＝－3.](2)[解]设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－12且－122－12＋3m＝0，所以m＝112.1．(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．-5-[解]由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－23＋i.2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)0，求实数m的取值范围．[解]由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝x2＋x＋3m－(2x＋1)i0，故2x＋1＝0，x2＋x＋3m0，解得x＝－12，m112.所以实数m的取值范围为112，＋∞.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．1．本节课的重点是理解复数的概念、复数的分类及数集间的关系．2．本节课的易错点是对两个虚数进行大小比较，只有当两个复数是实数时，才能比较大小.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．()(3)bi是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为()A．－2B．3C．－3D．±3B[由题知m2－9＝0，m＋2＞0，-6-解得m＝3.故选B.]3．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．－1[由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而m2－3m＝4，m＝5m＋4，解得m＝－1.]4．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b.[解]依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，由②得a＝±3，b＝－2.③中，a，b无整数解不符合题意．综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.