2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 2 直观图学案 北师大版必修2

-1-§2直观图学习目标核心素养1.掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(重点、难点)3．通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征.1.通过用斜二测画法画简单图形的直观图培养直观想象素养．2．通过观察直观图了解空间几何体的表示形式，提升数学抽象素养.1．斜二测画法(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的12.思考：相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定，如正方形的直观图是平行四边形．2．立体图形的直观图的画法立体图形直观图画法的“四步曲”：1．水平放置长方形的直观图可能为下图中的哪一个()-2-A．①②B．①②③C．②⑤D．③④⑤[答案]C2．下面说法正确的是()A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形D[正方形的直观图中对应边互相平行，不可能是梯形，A错；两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行，B错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，C错，只有D正确．]3．如图，直观图△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形D[由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′知，在原图形中，AC⊥CB，所以对应的平面图形为直角三角形．]4．在棱长为4cm的正方体ABCD­A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.24[在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2cm.]平面直观图的画法【例1】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.-3-1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．1．用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．[解](1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，如图②，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，去掉辅助线，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图③所示．空间几何体的直观图的画法【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解]画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.①②(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.-4-(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴→画底面→画侧棱→成图2．用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．[解]画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.①(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.②直观图的还原及有关计算[探究问题]1．如图是一梯形OABC的直观图O′A′B′C′，O′C′＝h，-5-根据直观图你知道原图形是什么吗？它有什么特点？提示：原图形是一个直角梯形且高为2h.2．已知△ABC的直观图如图所示，你能求出原△ABC的面积吗？你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？提示：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝12×6×3＝9.又S△A′B′C′＝12×3×(3sin45°)＝924，∴S△A′B′C′＝24S△ABC.【例3】如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．[思路探究]分别以B′C′，A′B′所在的直线为x′轴，y′轴，画出该直观图的对应图形，然后求面积．[解]如图①是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝2.再建立一个直角坐标系xOy，则O，B重合，如图②所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋2，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋2，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝12AB·(AD＋BC)＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋2.1．若将例题中图形变为如图所示的图形，试求原图形面积．[解]将该三角形还原后可知|OA|＝2|O′A′|，|OB|＝|O′B′|，则S△ABO＝12×1×22＝2.-6-故原图形面积为2.2．若将例题中直观图换为下图，试求原图形的周长．[解]如图为原平面图形．由斜二测画法可知，OB＝2O′B′＝22，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1，且AB∥OC，∠BOC＝90°.所以四边形OABC为平行四边形，且BC＝OC2＋OB2＝1＋8＝3，故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8.将直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段被还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算.1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．1．思考辨析(1)用斜二测画法画直观图时，在原图x轴上长为4的线段，在直观图中的长度为4.()(2)正方形的直观图仍是正方形．()(3)平行四边形的直观图仍是平行四边形．()(4)用斜二测画法画直观图时，平行于y轴的线段在直观图中长度减半．()[解析](2)×，正方形的直观图是平行四边形．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√-7-2．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2．5[由题图知原图是以3,4为直角边的直角三角形，而斜边上的中线等于斜边的一半．]3．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，且B′D′∥y′轴，由图判断原三角形中AB，OB，BD，OD的大小关系是________．ODBDABOB[将直观图还原为平面图形如下所示，由三角形的有关性质可知，OBABBDOD.]4．已知一等腰△ABC底边AB＝a，高为32a，求用斜二测画法得到的直观图的面积．[解]如图①②所示的是实际图形和直观图，由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.