2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次

12.3二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1，或xx2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a0时，解形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当pq时，若(x－2p)(x－q)0，则xq或xp；若(x－p)(x－q)0，则pxq.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是()A．a2x2＋2≥0B.1x23C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋10解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C．(－∞，－1]D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为()A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)3D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x20，得x2＋6x－70，即(x＋7)(x－1)0，所以－7x1，故选B.答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P52例1、2、3]例1(1)求不等式x2－5x＋60的解集．(2)求不等式9x2－6x＋10的解集．(3)求不等式－x2＋2x－30的解集．【解析】(1)对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3.画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x2－5x＋60的解集为{x|x2，或x3}．(2)对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝13.画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x2－6x＋10的解集为xx≠134(3)不等式可化为x2－2x＋30.因为Δ＝－80，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋30的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋60的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c0(a0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1解下列不等式：(1)x2－7x＋120；5(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋10；(4)－2x2＋3x－20.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x1，x2――→函数图象x＋10，化简得x2＋5x＋60，所以所求不等式的解集为{x|－3x－2}．[尖子生题库]10．解关于x的不等式x2－ax－2a20.解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.(1)若a0，则－ax2a，此时不等式的解集为{x|－ax2a}；(2)若a0，则2ax－a，此时不等式的解集为{x|2ax－a}；(3)若a＝0，则原不等式即为x20，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a0时，{x|－ax2a}；当a0时，{x|2ax－a}；当a＝0时，∅.