2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制讲义 新人教A版必修第一册

15.1.2弧度制知识点一度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad状元随笔正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化知识点二弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.知识点三角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数状元随笔角度制与弧度制换算公式的理解2(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．知识点四扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝α·R.(2)扇形面积公式：S＝12lR＝12α·R2.[教材解难]弧长公式、扇形的面积公式的应用．①运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是α为弧度制；②在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：l＝|α|R，|α|＝lR，R＝l|α|.S＝12|α|R2，|α|＝2SR2.[基础自测]1．下列各种说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.答案：D2．将864°化为弧度为()A.36π5B.12π5C.24π5D.4825π解析：864°＝864×π180＝24π5，故选C.答案：C33．5弧度的角的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为32π52π，因此5弧度的角的终边在第四象限．答案：D4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析：216°＝216×π180＝6π5，l＝α·r＝6π5r＝30π，∴r＝25.答案：25题型一角度与弧度的换算[教材P173例4]例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值．解析：(1)因为67°30′＝1352°，所以67°30′＝1352×π180rad＝38πrad.(2)利用计算器有1．178097245.因此，67°30′≈1.178rad.状元随笔角度与弧度的换算只要记住一个公式：π180°＝该角的弧度数该角的角度数.据此可推出n°＝n·π180rad，αrad＝α·180π°.教材反思进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180π°进行换算．4(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·π180.提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．跟踪训练1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°.(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式：16π3，－315°，－11π7.解析：(1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86°；α2＝5116π＝5116×180°＝15330°；α3＝9＝9×180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855°×π180＝－194π.(2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4；－11π7＝－2π＋3π7.(1)180°＝πrad是进行“弧度”与“角度”换算的关键．(2)表示成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式，调整k使角在[0,2π)内．题型二用弧度制表示角的集合[经典例题]例2已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．【解析】(1)2005°＝2005×π180rad＝401π36rad＝5×2π＋41π36rad，又π41π363π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋41π36(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋41π360，k∈Z知k＝－1，－2，－3.5∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.状元随笔(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并.方法归纳用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解析：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合为α2kπ－3π4α2kπ＋π3，k∈Z.对于题图(2)，同理可得，所求集合为α2kπ＋π6α≤2kπ＋π2，k∈Z∪α2kπ＋π＋π6α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z＝αkπ＋π6α≤kπ＋π2，k∈Z.本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.题型三与扇形弧长、面积相关的问题[经典例题]例3(1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为()A.π3B.π2C.3D．26(2)一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.(2)设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.所以圆心角α＝lr＝2.如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1rad.所以AH＝1·sin1＝sin1(cm)，所以AB＝2sin1(cm)，所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin1cm.【答案】(1)C(2)见解析(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a＝3r，再求α.(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解．方法归纳扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lR＝12αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0α2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练3(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则此扇形的面积为________cm2；(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．解析：(1)设扇形弧长为l，因为120°＝120×π180rad＝2π3(rad)，所以l＝αR＝2π3×3＝23π3(cm)．7所以S＝12lR＝12×23π3×3＝π(cm2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为R，依题意有l＋2R＝10.①12lR＝4.②①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad2πrad舍去．当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量．也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．课时作业28一、选择题1．1920°的角化为弧度数为()A.163B.323C.163πD.323π解析：∵1°＝π180rad，∴1920°＝1920×π180rad＝323πrad.答案：D2．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.π3B.π68C．－π3D．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故转过的角的大小应为圆周的16，故所求角的弧度数为－16×2π＝－π3.答案：C3．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是()A．－34πB．－2πC．πD．－π解析：∵－114π＝－2π＋－34π＝2×(－1)π＋－34π.∴θ＝－34π.答案：A4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是()A．1B．2C．3D．4解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得θR＝612θR2＝6，解得θ＝3，故选C.答案：C二、填空题5．下列四个角：1,60°，π3，－π6由大到小的排列为________．解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×π180＝π3，所以四个角为1，π3，π3，－π6.所以60°＝π31－π6.答案：60°＝π31－π66．若三角形三内角之比为，则三内角的弧度数分别是________．解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝π12，所以3k＝π4，4k＝π3，5k＝5π12.9答案：π4，π3，5π127．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．解析：135°＝135π180＝3π4，所以扇形的半径为3π3π4＝4，面积为12×3π×4＝6π.答案：46π三、解答题8．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解析：(1)20°＝20180π＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝(7π12×180π)°＝(712×180)°＝105°.(4)－11π5＝(－11π5×180π)°＝(－115×180)°＝－396°.9．如图，扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，依题意有l＋2R＝8，①12l·R＝4，②由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝lR＝2.过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，又∠BOA＝2rad，∴∠BOC＝1rad，∴BC＝OB·sin1＝2sin1(cm)，∴AB＝2BC＝4sin1(cm)．10故所求扇形的圆心角为2rad，弦AB的长为4sin1cm.[尖子生题库]10．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2