2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象讲义 新

15.4三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在－π2，π2上的性质．5.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y＝sinxy＝cosx图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)状元随笔1.关于正弦函数y＝sinx的图象(1)正弦函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sinx，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．2[教材解难]1．教材P196思考如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sinx0)．2．教材P197思考由诱导公式一可知，函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．3．教材P198思考在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)4．教材P198思考对于函数y＝cosx，由诱导公式cosx＝sinx＋π2得，y＝cosx＝sinx＋π2，x∈R.而函数y＝sinx＋π2，x∈R的图象可以通过正弦函数y＝sinx，x∈R的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象．5．教材P200思考能．以函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象．能．以函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x轴对称的图象，所得图象即函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的图象．[基础自测]1．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()3A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点解析：画出y＝sinx的图象，根据图象可知A，B，D三项都正确．答案：C2．不等式sinx0，x∈[0,2π]的解集为()A．[0，π]B．(0，π)C.π2，3π2D.π2，3π2解析：由y＝sinx在[0,2π]的图象可得．答案：B3．下列图象中，是y＝－sinx在[0,2π]上的图象的是()解析：函数y＝－sinx的图象与函数y＝sinx的图象关于x轴对称，故选D.答案：D4．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．解析：令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π题型一用“五点法”作三角函数图象[教材P199例1]例1画出下列函数的简图：(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．解析：(1)按五个关键点列表：x0π2π3π22π4sinx010－101＋sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x0π2π3π22πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来：用五点法作图关键先找出5个关键点，再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1画出函数y＝3＋2cosx的简图．解析：(1)列表，如下表所示5x0π2π3π22πy＝cosx10－101y＝3＋2cosx53135(2)描点，连线，如图所示：利用五点作图法画简图．题型二正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]例2根据正弦曲线求满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sinx与y＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sinx≥－32的x∈0，43π∪53π，2π，所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.(或0，43π∪53π，2π)在同一坐标系内作y＝sinx与y＝－32的图象，利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sinxa(或cosxa)的三个步骤(1)作出直线y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．6(3)确定sinxa(或cosxa)的解集．[注意]解三角不等式sinxa，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2根据余弦曲线求满足cosx≤12的x的取值范围．解析：作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π3＋2kπ，5π3＋2kπ，k∈Z.在同一坐标内作y＝cosx与y＝12的图象，利用图象求x的范围.课时作业33一、选择题1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是()A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y＝cosx关于y轴对称，故C错误．答案：C2．下列各点中，不在y＝sinx图象上的是()A．(0,0)B.π2，1C.3π2，－1D．(π，1)解析：y＝sinx图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．答案：D73．点Mπ2，－m在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2解析：点M在y＝sinx的图象上，代入得－m＝sinπ2＝1，∴m＝－1.答案：C4．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象()A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题5．下列叙述正确的有________．(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)6．关于三角函数的图象，有下列说法：(1)y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；(3)y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；(4)y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序号是________．解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对(4)，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．答案：(2)(4)7．直线y＝12与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的交点坐标是________．8解析：令sinx＝12，则x＝2kπ＋π6或x＝2kπ＋56π(k∈Z)，又∵x∈[0,2π]，故x＝π6或56π.答案：π6，12，56π，12三、解答题8．利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．解析：(1)取值列表：x0π2π3π22πsinx010－101－sinx10121(2)9．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12，x∈[0,2π]．解析：函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为xπ3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cosx，9x∈[0,2π]关于x轴对称的简图，即y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cosx，x∈[0,2π]的简图，如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sinx|，x∈[0,4π]的简图，如图2所示．